Selectivo Ibero 2013 P4

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ésta

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Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por ésta » Vie 09 Ago, 2013 5:05 pm

Dado un triángulo [math] con [math], sea [math] la bisectriz del ángulo [math]; sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Calcular el valor del ángulo [math] si se sabe que [math].
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tuvie

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Re: Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 09 Ago, 2013 6:16 pm

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Sea [math] el punto tal que [math] y [math]. Notemos que [math], pero por el Teorema de la Bisectriz, tenemos que [math], pero hay un único punto [math] que cumple el Teorema, entonces [math]. Entonces [math], donde [math]. Análogamente, [math]. Pero [math]

ktc123

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Re: Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por ktc123 » Vie 09 Ago, 2013 7:06 pm

Otra solución sin poner ningún punto nuevo
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Aplicando terorema de la bisectriz en [math], entonces:

[math]


Pero por enunciado [math] y también [math], de donde:

[math]


Como también [math] es punto medio de [math], [math], y entonces [math] es isósceles. Luego [math]. También como [math] (por Thales), por alternos internos [math]. Después por ser suplementario [math].

Sabiendo que [math], si reemplazamos en la primera igualdad del T. de la Bisectriz tenemos:

[math]
.

De la misma forma como [math] es punto medio de [math], [math] y [math] es isósceles. Luego [math]. Como [math] y por alternos internos [math]. Después por ser suplementario, [math].

Por suma de ángulos internos en [math], haciendo la cuenta sale que [math]. Por último como [math] es suplementario con [math] e [math] resulta que:

[math]
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

ricarlos
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Re: Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 09 Ago, 2013 10:29 pm

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[math]; [math], luego [math]

Por T. bisectriz

[math]

Hacemos [math]
(uno se podria complicar un poco mas haciendo 1=b/b y llegariamos al mismo resultado) entonces,

[math]

Entonces
[math]; [math], y de ahi que [math] y [math] son isosceles. Si [math] es el incentro del [math] luego [math] y [math] son mediatrices de [math] y [math],respectivamente, estos 2 ultimos segmentos tienen puntos medios que llamamos [math], [math].
Llamamos [math], luego [math] y entonces en el [math] el [math], pero como [math] es ciclico, tenemos [math]
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

jonyayala_95
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Re: Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Mié 14 Ago, 2013 4:56 pm

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Sea [math] Y [math]

Por el T. de la Bisectriz tenemos:

[math]

Análogamente tenemos que [math]

Entonces como [math] y [math] son puntos medios de los lados resulta que los triángulos [math] y [math] son isósceles.

Sea [math], entonces [math]
Pero como [math] es base media entonces [math]
Ademas teniendo en cuenta que [math] es isosceles:
[math]

Ahora [math]

Pero además: [math]

[math]

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Marco V

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Re: Selectivo Ibero 2013 P4

Mensaje sin leer por Marco V » Lun 24 Jul, 2017 1:48 am

jonyayala_95 escribió:
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Pero como [math] es base media entonces [math]
Esta parte no tiene sentido. Lo último saldría de que [math] también es base media, entonces [math], lo que lleva a que [math] es equilatero, un caso MUY particular.

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