Selectivo 25° Ibero - Problema 4

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Caro - V3

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Selectivo 25° Ibero - Problema 4

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 02 Feb, 2011 10:22 pm

Sea [math] el circuncentro del triángulo acutángulo [math] y sea [math] su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo interior [math] corta a [math] en [math]. La bisectriz del ángulo interior [math] corta a [math] en [math]. Sea [math] el incentro del triángulo [math]. Si los puntos [math], [math], [math] e [math] pertenecen a una misma circunferencia, calcular la medida del ángulo [math].
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices. Su centro se denomina circuncentro. El incentro de un triángulo es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 4

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 26 Feb, 2011 2:58 am

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Sel Ibero P4.PNG
No es difícil, pero tenés que tener suerte para que te salga. Sin pérdida de generalidad, digamos que BC > AC (el otro caso es completamente análogo).

Sea [math] y sea [math].

Tenemos que: [math]. (1)

Además: [math].

Por la ciclicidad de DOIE, tenemos que: [math].

Como [math] es un ángulo central correspondiente al arco BD, tenemos que [math]. (2)

Por otro lado, es claro que: [math], de esto último concluimos [math].

Pero entonces, en el cuadrilátero BAIO se tiene que [math], por lo que es cíclico.

Entonces [math]. Pero como O es circuncentro, tenemos que [math]. Notemos que [math] y que [math], entonces tenemos que:

[math] (3)

Sea P la intersección de OD con CB. Como D es punto medio del arco BC, tenemos que OD es perpendicular a BC. Entonces [math], además por (2) teníamos que [math], entonces [math] (4), finalmente:

[math].

Usando (1), (3) y (4)

[math]

[math]

[math].

Como [math], se concluye que:

[math]
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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ésta

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 4

Mensaje sin leer por ésta » Sab 26 Feb, 2011 3:03 pm

Solución alternativa
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[math] (por opuestos por el vértice)
[math] (porque [math] es cíclico)
[math] (por arco capaz en la circunferencia que pasa por [math])
[math]
[math] (por arco capaz en la misma circunferencia)
[math] (porque [math] y [math] son bisectrices)

Ahora en el triángulo [math] tenemos:
[math]
[math]
[math]
[math]

Y en el triángulo [math]
[math]
[math]
[math]
Imagen

ktc123

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 4

Mensaje sin leer por ktc123 » Mar 02 Abr, 2013 3:10 pm

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Primero trazemos la bisectiz de [math] que interseca a [math] en [math]. Llamemos [math], [math], [math]. De donde [math]

Por arco capaz en la cuerda [math], [math]

Por ser [math] ángulo central, [math]

Como son radios de [math], [math], entonces [math] es isósceles. Es más, por suma de ángulos en [math], [math], y por ser isósceles, [math]

Como [math] es cíclico, [math]

Por arco capaz en la cuerda [math], [math]

Por último como [math]

[math]
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo 25° Ibero - Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 04 Dic, 2017 1:43 pm

ésta escribió:
Sab 26 Feb, 2011 3:03 pm
Solución alternativa
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$\angle AIB=\angle EID$ (por opuestos por el vértice)
$\angle EID=\angle EOD$ (porque $EOID$ es cíclico)
$\angle EOD=2\angle EBD$ (por arco capaz en la circunferencia que pasa por $ABCDE$)
$2\angle EBD=2(\angle EBC+\angle CBD)$
$2(\angle EBC+\angle CBD)=2(\angle EBC+\angle CAD)$ (por arco capaz en la misma circunferencia)
$2(\angle EBC+\angle CAD)=\angle ABC+\angle CAB$ (porque $AD$ y $BE$ son bisectrices)
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Entonces $A\widehat IB=A\widehat BC+C\widehat AB$, pero como $I$ es incentro entonces $A\widehat IB=A\widehat CB+\frac{1}{2}(A\widehat BC+C\widehat AB)$
Por lo tanto $A\widehat CB=\frac{1}{2}(A\widehat BC+C\widehat AB)$
Se sigue que $\frac{3}{2}(A\widehat BC+C\widehat AB)=180°\Rightarrow \frac{1}{2}(A\widehat BC+C\widehat AB)=60°$

Finalmente $A\widehat CB=60°$
[math]

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