Selectivo 48° IMO 2007 - Problema 2

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Caro - V3

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Selectivo 48° IMO 2007 - Problema 2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 02 Feb, 2011 11:19 pm

Sea [math] un trapecio de bases [math] y [math], y lados no paralelos [math] y [math]. Denotamos [math] al punto de intersección de las bisectrices del triángulo [math]. Se sabe que existe un punto [math] en [math] ([math], [math]) tal que si [math] es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos [math] y [math], entonces [math] es paralelo a las bases del trapecio. Demostrar que [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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ésta

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Re: Selectivo 48° IMO 2007 - Problema 2

Mensaje sin leer por ésta » Sab 26 Feb, 2011 9:18 pm

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El trapecio [math] es convexo para que el problema tenga sentido. Y entonces [math] y [math] están en la misma semirrecta de origen en [math]
Sea [math] la intersección de [math] y [math].

Tenemos por [math] y [math] paralelas que
[math].
Como [math] es bisectriz de [math]
[math]
Pero también [math] es bisectriz de [math]
[math].
De esto se deduce que [math] y [math] son paralelas.

Ahora [math]
Y en el triángulo [math]:
[math]
[math] (gato=a todo color).
Y por paralelas entre [math] y [math]
[math],
Sigue que [math] es cíclico.
Pero además tiene un par de paralelas, entonces es un trapecio isósceles.

Cómo en un trapecio isósceles las diagonales son iguales, [math].
Entonces resta probar que [math].

Por arco capaz,
[math] (independiente=pensamiento científico)
[math] (porque [math] biseca a [math]

En el triángulo [math],
[math]
[math]

Cómo [math] es la unión de la bisectriz de [math] y la bisectriz exterior de [math], es un excentro del triángulo [math], y por lo tanto [math] es bisectriz exterior de [math].
Tenemos que [math].
Y [math]
Despejando, sale que
[math]
Y [math]

Ahora sale que [math]
Cómo [math] y [math] son paralelas, [math]
Por último vemos que [math]
Vemos que [math] es un trapecio isósceles y por lo tanto sus diagonales [math] y [math] son iguales como queríamos.
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Prillo

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Re: Selectivo 48° IMO 2007 - Problema 2

Mensaje sin leer por Prillo » Mar 15 Ene, 2013 2:39 pm

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Como [math] luego [math] y [math] por lo cual también [math]. Como [math] entonces [math] y se sigue que [math] es un trapecio isóceles. Como [math] es el punto de intersección de la bisectriz exterior de [math] con la bisectriz interior de [math] en el triángulo [math], se sigue que [math] es el excentro del triángulo [math] respecto del vértice [math]. En particular [math] es bisectriz exterior de [math] y luego [math]. También [math], por lo cual si [math] es el punto de intersección de [math] y [math], luego [math]. Así, [math] por lo cual [math] es un trapecio isóceles y entonces [math], como queríamos demostrar.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo 48° IMO 2007 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 08 Jul, 2018 3:18 pm

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Por bisectriz, $A\widehat CI=I\widehat CB$ y por ángulos entre paralelas $I\widehat CB=P\widehat IC$. También por ángulos entre paralelas, $Q\widehat AC=A\widehat CB$ y por bisectrices, $P\widehat AC=I\widehat CA$. De esto tenemos que $AP\parallel CI$ y $P\widehat AC=P\widehat IC$, por lo que $APCI$ es un trapecio cíclico, es decir que es isósceles y $PI=AC$. (*)

Sean $Q\widehat AC=\alpha$, $A\widehat BC=\beta$ y $A\widehat CQ=\gamma$.
Como $Q$ está en el lado $AD$, resulta que $PQ$ es bisectriz exterior de $A\widehat QC$, de donde $P$ es excentro y $Q\widehat CP=90°-\frac{\gamma}{2}$, luego, $P\widehat CA=90°+\frac{\gamma}{2}\Rightarrow P\widehat IA=90°+\frac{\gamma}{2}$. Por ser bisectriz tenemos $P\widehat AC=\frac{\alpha}{2}\Rightarrow P\widehat IC=\frac{\alpha}{2}$. Por lo tanto, $A\widehat IC=90°+\frac{\alpha +\gamma}{2}$; pero como $I$ es incentro de $\triangle ABC$, resulta $A\widehat IC=90°+\frac{\beta}{2}$. Luego $\frac{\alpha +\gamma}{2}=\frac{\beta}{2}\Rightarrow \alpha +\gamma =\beta \Rightarrow B\widehat CA+A\widehat CQ=\beta \Rightarrow B\widehat CQ=\beta$ y $ABCQ$ es un trapecio isósceles. Por lo tanto, $AC=BQ$. (**)

De (*) y (**) resulta $PI=BQ$
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[math]

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