Nacional 2005 N2 P3

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Ivan

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Nacional 2005 N2 P3

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 18 Oct, 2013 12:39 am

Sea [math] un triángulo rectángulo e isósceles, con [math]. Consideramos los puntos [math] y [math] en [math] tales que [math]. Se traza desde [math] la perpendicular a [math] que corta a [math] en [math]. Si [math] , calcular la medida del ángulo [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

ricarlos
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Re: Nacional 2005 N2 P3

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 18 Oct, 2013 1:59 pm

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El triangulo [math] tiene angulos 73,62,45. Como [math] tenemos que [math].
Por [math] trazamos una recta [math] de modo que [math], luego prolongamos [math] hasta cortar a [math] en [math]. Nos queda que [math] (criterio ALA), entonces [math] y ademas como [math] es bisectriz de [math] tenemos que [math]. Asi que [math] es un deltoide cuyos medida de angulos iguales (y opuestos) son [math]
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2005 N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 05 Jul, 2019 8:40 pm

Otra:
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Sean $D$ el punto medio de $BC$, $E=AP\cap CM$ y $P'=AD\cap CM$.
Como $AB=AC$, tenemos que $\angle PDP'=\angle BDA=90°$; y por ser $AP\perp CM$, tenemos $\angle PEP'=90°=\angle AP'C$. Luego, $ACDP'$ y $PDP'E$ son cíclicos, por lo que $\angle DEP=\angle DCA=\angle BCA$, y como $ABC$ es isósceles y rectángulo, tenemos $\angle BCA=\angle ABC=45°$, entonces $\angle DEP'=\angle PEP'-\angle DEP=90°-45°=45°$, y por arco capaz $\angle DPP'=\angle DEP'=45°=\angle DEP=\angle DP'P$, por lo tanto, $DP=DP'$. Pero por ser mediana a la hipotenusa tenemos $DA=DB$, de donde $AP'=DA-DP'=DB-DP=BP$; además, $\angle MAP'=\angle BAD=45°=\angle ABD=\angle NBP$, y $MA=NB$ por enunciado, luego, $\triangle MAP'\equiv \triangle NBP$, de donde $\angle BNP=\angle AMP'=\angle AMC$. Como $\angle APC=62°$ y $\angle PCA=\angle BCA=45°$, tenemos que $\angle CAE=\angle CAP=73°$, luego, $\angle EAM=90°-73°=17°$, por lo tanto, como $\angle AEM=90°$, tenemos que $\angle EMA=90°-17°=73°$, de donde $\angle BNP=73°$
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