Nacional 1997 N2 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Lean

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2023 FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Plata-OFO 2024
Mensajes: 176
Registrado: Vie 20 Ene, 2023 10:38 am
Medallas: 3
Nivel: 3
Ubicación: Quilmes

Re: Nacional 1997 N2 P3

Mensaje sin leer por Lean »

Spoiler: mostrar
Supongamos que tengo un triangulo similar al propuesto, $A'B'C'$, pero mas grande.
Trazo las alturas a partir de cada vertice al lado opuesto.

Como en la figura, $\overline{B'F}$ es perpendicular a $\overline{A'C'}$ y $\overline{A'E}$ a $\overline{B'C'}$. Uniendo $F$ con $E$, solo nos falta trazar una paralela a $\overline{EF}$ que pase por $D$ para terminar. Y esto lo podemos hacer directamente!


1997P3.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
"El mejor número es el 73".
Avatar de Usuario
Kechi

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2023 OFO - Medalla de Plata-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Medalla-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 90
Registrado: Mié 21 Sep, 2022 1:41 pm
Medallas: 3
Nivel: 2

Re: Nacional 1997 N2 P3

Mensaje sin leer por Kechi »

Spoiler: mostrar
Sea $K$ la intersección de la perpendicular a $BC$ por $B$ con la perpendicular a $AC$ por $A$, y tomemos $D$ como el punto donde $AB$ y $KC$ se cortan.
P3 1997.png
Como $C\widehat FD+D\widehat EC=90°+90°=180°$ el cuadrilátero $FDEC$ es cíclico con $D\widehat EF=D\widehat CF$. Como $C\widehat BK+K\widehat AC=90°+90°=180°$ el cuadrilátero $BKAC$ es cíclico con $K\widehat AB=K\widehat CB$. Además $K\widehat CB=D\widehat CF$, por lo que $F\widehat EC=D\widehat EC-D\widehat EF=90°-D\widehat EF=90°-K\widehat AB=K\widehat AC-K\widehat AB=B\widehat AC$ de donde se desprende que las rectas $AB$ y $EF$ son paralelas. $\bigstar$
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
Responder