Sea [math]ABC un triángulo equilátero de centro [math]O. Una recta trazada por [math]C corta a la circunferencia circunscrita del triángulo [math]AOB en los puntos [math]D y [math]E. Demostrar que los puntos [math]A, [math]O y los puntos medios de los segmentos [math]BD y [math]BE son concíclicos.
ACLARACIÓN: La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por los tres vértices del triángulo
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Sea [math]P el opuesto diametral a [math]B en la circunscripta de [math]\triangle ABC. Sea [math]Q la reflexión de [math]B por [math]A. Notar que al ser [math]\triangle ABC equilátero, tenemos que [math]\triangle QBC es rectángulo en [math]C. Entonces, [math]P está en [math]CQ pues [math]\angle BCP = \angle BCQ = 90^\circ.
Por semejanza tenemos que [math]CP\times CQ = CB^2.
Luego, por Potencia de un Punto, y al ser [math]CB tangente a la circunscripta de [math]\triangle AOB (por ser [math]\triangle ABC equilátero), tenemos que [math]CB^2 = CD\times CE.
Entonces, [math]CP\times CQ = CD\times CE, y así [math]PQDE es cíclico. Homoteciando con centro [math]B y razón [math]\frac{1}{2} tenemos que [math]P va a [math]O, [math]Q a [math]A y [math]D y [math]E a los puntos medios de [math]BD y [math]BE respectivamente. Como homotecias mantiene los cíclicos, estamos [math]\blacksquare
Sean [math]M,N los puntos medios de [math]BD,BE respectivamente. Sea [math]K el punto medio de [math]BC. Es claro que [math]AO para por [math]K. Pero también es fácil ver que [math]MN pasa por [math]K. Luego [math]AO y [math]MN concurren en [math]K. Ahora, como [math]\angle KNB = \angle CEB = \angle CBD = \angle KBM entonces [math]KB es tangente al circuncírculo del triángulo [math]BMN. Por potencia de un punto, se sigue que [math]KM\cdot KN = KB^2 = KO\cdot KA, y así [math]A,O,M,N son concíclicos.
Sean $F$, $G$ y $H$ los puntos medios de $BC$, $BD$ y $BE$ respectivamente. Por Thales tenemos que $FG\parallel GH\parallel DE$ por lo que $F,G,H$ son colineales, por ser $F$ el punto medio de $BC$, tenemos que $A,O,F$ son colineales.
Además, como $C\widehat BA=180°-A\widehat OB$ tenemos que $CB$ es tangente al circuncírculo de $AOB$ por ser el ángulo exinscripto. Luego $FO\cdot FA=FB^2$.
Ahora, $FG\cdot FH=\frac{1}{2}CD\cdot \frac{1}{2}CE=\frac{1}{4}CB^2=(\frac{1}{2}CB)^2=FB^2=FO\cdot FA$. Por potencia de un punto queda demostrado que $A,O,G,H$ son concíclicos.