Nacional 1998 N1 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Olímpico

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Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por Olímpico » Mar 05 Nov, 2013 4:33 pm

Dados los segmentos:
Imagen
oma15n_3[1].gif
construir con regla y compás un triángulo [math] de manera tal que, si [math] es el pie de la altura correspondiente al vértice [math], entonces [math], [math], [math].
Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción realizada satisface las condiciones del problema.
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tuvie

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por tuvie » Mar 05 Nov, 2013 7:04 pm

No hace falta de hecho ver los segmentos.
La clave del problema es saber que se puede constuir con regla y compas segmentos racionales.
Spoiler: mostrar
Sea [math] la medida [math], [math]. Sea [math] una recta y [math] una recta paralela a [math] tal que la distancia entre ambas sea [math]. Marcamos [math] en [math] y [math] en [math], pues teniendo [math] sabemos construirlo.
Notemos que [math]. Como sabemos [math] y [math], marcamos [math] a la izquierda de [math] sobre [math] tal que [math] ahora marcamos [math] a la derecha de [math] tal que [math] y marcamos [math] como punto medio de [math]. Ese punto es el [math] que buscamos. [math] se marca de manera analoga.
No explique muchas cosas y pase por alto algunos pasos.
Cualquier duda pregunta.

Olímpico

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por Olímpico » Mar 05 Nov, 2013 7:58 pm

Muchas gracias por tu respuesta. Te pude seguir perfectamente hasta acá, donde me surgió una duda:
Spoiler: mostrar
tuvie escribió:Como sabemos [math] y [math], marcamos [math] a la izquierda de [math] sobre [math] tal que [math].
¿Cómo marco un segmento que mida [math]? Supongo que es eso a lo que te referís al inicio de construir segmentos racionales, pero no se me ocurre cómo, menos habiendo un cuadrado.

tuvie

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por tuvie » Mar 05 Nov, 2013 8:07 pm

Ahi va:
Spoiler: mostrar
Marcas en una recta [math]. En un extremo de ese segmento marcás otro segmento por otra recta que mida [math] y unís los dos extremos que no son comunes. (El segmento [math] lo haces poniendo [math] una cantidad [math] de veces). Ahora usas paralelas a la recta que une los extremos. Por un punto sobre el segmento [math] tal que la medida desde ese punto al extremo sea [math] y tiras la paralela a la recta que dije. Esta corta al segmento [math] en un punto donde la distancia a uni de los extremos es [math] (sale con Thales).
No me gusto como lo redacte, igual creo que se entiende ;)

Olímpico

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por Olímpico » Mar 05 Nov, 2013 8:44 pm

Muchas gracias por responderme, pero sigo un poco confundido en una parte:
Spoiler: mostrar
tuvie escribió:Marcas en una recta [math]. En un extremo de ese segmento marcás otro segmento por otra recta que mida [math] y unís los dos extremos que no son comunes. (El segmento [math] lo haces poniendo [math] una cantidad [math] de veces).
¿Cómo se marca [math] veces un segmento [math] con regla y compás? Probablemente yo esté entendiendo algo mal, pero una cosa es el segmento [math] y otra una medida de [math] que nos sirva a la vez como cantidad de veces que va a aparecer [math]. No sé si me explico bien: si por ejemplo decimos que [math] cm, puedo con el compás duplicarlo, y formar un segmento de [math] cm, pero esto será el cuadrado de la medida del segmento, no del segmento, pues yo podría cambiar de centímetros a, por ejemplo, [math] mm, y el cuadrado de la medida cambiaría a [math] mm, que no es lo mismo que [math] cm. Otra cosa es elevar, no el número, sino el segmento al cuadrado, en cuyo caso nos quedaría [math] cm cuadrados, igual a [math] mm cuadrados, que claramente no es un segmento sino una superficie.

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Ivan

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 05 Nov, 2013 9:23 pm

No explico muy en detalle como se hace la construcción, explico la idea:
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Por Pitágoras [math]. Factorizando [math]. y entonces [math] o sea [math].
Para construir un segmento de largo [math] podemos usar potencia de un punto:
reglaycompas.png
Ahora que tenemos un segmento de largo [math] y uno de largo [math] podemos construir fácilmente uno de largo [math] y uno de largo [math].
De esta forma podemos construir [math]. Análogamente se construye [math].
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Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

tuvie

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por tuvie » Mar 05 Nov, 2013 9:42 pm

La verdad es que no se como explicartelo. Si tenes el envio 3, esto esta ahi.

Olímpico

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por Olímpico » Jue 07 Nov, 2013 12:59 pm

Gracias por sus comentarios. Creo que ya entendí:
Spoiler: mostrar
Trazamos un segmento [math] y tres rectas perpendiculares: dos en los extremos y una que divida al segmento en [math] y [math]. Luego, trazamos una transversal a estas perpendiculares (que por supuesto, son paralelas entre sí), tal que el segmento correspondiente a [math] sea [math], y el correspondiente a [math], [math]. Luego, por Tales, [math].

BrunZo

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Re: Nacional 1998 N1 P5

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 08 Oct, 2019 8:12 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Primero y principal, si queremos resolver el problema, lo primero que tenemos que responder es: ¿cómo interpretamos $a$ y $b$?
Una idea sería usar un punto $D'$ en $AC$ tal que $AD=AD'$, con lo que $D'C=AC-AD=a$, pero probando un poco, vemos que esto no nos lleva a nada interesante, y si seguimos, esto sólo nos llevaría a un lío de cuentas.
Ahora, pensemos al revés, y digamos que $C'$ es en $AB$ tal que $AC=AC'$. Entonces, $DC'=AC'-AD=AC-AD=a$. Notemos que esto es mucho más interesante, porque $C'$ esta mucho más determinado (es el punto en el lado $AB$ que esta a cierta distancia de $D$) y por esto, esto sí que nos lleva a una solución, veamos:

Sea $CD$ un segmento cualquiera en el plano de medida $h$ y $l$ la perpendicular por $D$.
Sea $P$ en $l$ tal que $DP=a$ (notemos que este $P$ corresponde al $C'$ de la parte anterior).
Ahora, sea $A$ la intersección de la mediatriz de $CP$ con $l$.
Entonces, $AC=AP=AD+DP=AD+a\Longrightarrow AC-AD=a$, es decir, que $A$ es el punto que
Y hacemos lo mismo del otro lado usando la longitud $b$, para obtener el punto $B$.

geogebra-export.png
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