En un cuadrilátero convexo [math]ABCD los ángulos [math]\hat{A} y [math]\hat{C} son iguales y la bisectriz de [math]\hat{B} pasa por el punto medio del lado [math]CD. Si se sabe que [math]CD= 3AD, calcular [math]\frac{AB}{BC}.
Guía de [math]\LaTeX: sirve para escribir ecuaciones como [math]\frac{11}{8}+ x \lfloor \pi \rfloor = 1
Prolongo la bisectriz hasta que corte con la recta [math]AD en el punto [math]P y al punto medio de [math]CD lo denominaré [math]M. De esta forma quedan dos triángulos semejantes que son [math]ABP y [math]MBC ya que [math]\widehat{ABP}=\widehat{PBC} y [math]\widehat{A}=\widehat{C} por enunciado. De esto se deduce que [math]\widehat{BMC}=\widehat{DMP}=\widehat{APB} y por lo tanto el triángulo [math]DMP es isósceles en [math]D. Por semejanza de triángulos en [math]ABP y [math]MBC:
Sea [math]E el punto medio de [math]CD, prolongamos [math]AD y [math]BE hasta que se corten en [math]F. Como [math]B\widehat AF=B\widehat CE y [math]A\widehat BE=C\widehat BE, por ser [math]BE bisectriz de [math]A\widehat BC, se tiene que [math]A\widehat FB=C\widehat EB por suma de ángulos interiores de un triángulo, y por lo tanto [math]\triangle ABF\approx \triangle CBE (1). Pero como [math]D\widehat EF=C\widehat EB por ser opuestos por el vértice, entonces [math]A\widehat FB=C\widehat EB=D\widehat EF\Rightarrow \triangle EDF es isósceles en [math]D\Rightarrow DE=DF=\frac{1}{2}CD=CE.
Entonces [math]AF=AD+DF=AD+\frac{1}{2}CD=AD+\frac{3}{2}AD=\frac{5}{2}AD y [math]CE=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}AD.
Por (1) [math]\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{CE}=\frac{\frac{5}{2}AD}{\frac{3}{2}AD}=\frac{5}{3}.
[math]\frac{AB}{BC}=\frac{5}{3}
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Sea $M$ el punto medio de $DC$ y $B'$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BM$. Sea $\angle A = \angle C = \alpha$ y $\angle MBC = \angle B'BA = \beta$. Sea, WLOG, $AD = 2$ y por lo tanto $DM = MC = 3$
Por suma de ángulos interiores en $\bigtriangleup MBC: \angle BMC = 180° - \alpha - \beta$ y por opuestos por el vértice $\angle DMB' = 180° - \alpha - \beta$. Notemos que en $\bigtriangleup ABB'$ por suma de angulos interiores $\angle AB'B = 180° - \alpha - \beta$ por lo que $\angle DB'M = \angle DMB'$ y entonces $DB' = 3$
Dado que los triángulos $\bigtriangleup ABB' \sim \bigtriangleup MCB$ comparten los 3 ángulos, entonces por semejanza sale que $\frac{AB}{BC} = \frac{AB'}{MC} \Rightarrow \boxed{\frac{AB}{BC} = \frac{5}{3}}$
