Nacional 1996 nivel 3 - problema 3

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CarlPaul_153
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Nacional 1996 nivel 3 - problema 3

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Mar 17 Dic, 2013 10:45 am

El hexágono no regular [math] está inscrito en una circunferencia de centro [math] y [math]. Si las diagonales [math] y [math] se cortan en [math], las diagonales [math] y [math] se cortan en [math] y las diagonales [math] y [math] se cortan en [math], demostrar que las alturas del triángulo [math] se cortan en [math].
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

ricarlos
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Re: Nacional 1996 nivel 3 - problema 3

Mensaje sin leer por ricarlos » Jue 19 Dic, 2013 7:55 pm

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Observamos que [math], [math] y [math] son trapecios isosceles, entonces los puntos [math], [math] y [math] son las intersecciones de sus respectivas diagonales.
Es facil ver que [math], luego [math] es ciclico y como [math] tambien es ciclico, luego tanto [math], en el ciclico anterior, como [math] en este, son iguales pues ambos son opuestos al vertice [math]. Entonces de aqui tenemos que [math] (1).
Si prolongamos [math] y [math] hasta intersectar en [math] es facil ver que [math] es isosceles en [math] y que la altura por [math] de este triangulo pasara por [math], por [math] y sera perpendicular a [math] a causa de (1), con lo cual tendriamos una de las alturas del triangulo [math]. Analogamente llegariamos a las otras 2 alturas del [math], ambas pasaran por [math]
1  
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 1996 nivel 3 - problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 08 Jul, 2017 8:36 pm

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Como [math] se tiene que [math] es una rotación con centro [math] de [math], por lo que son congruentes, y por lo tanto tienen sus ángulos correspondientes iguales.
Nacional 1996 N3 P3 (1).png
Ahora, como [math], resulta que [math] es cíclico, es decir, [math] pertenece al circuncírculo del [math] (1).
Nacional 1996 N3 P3 (2).png
Prolongamos [math] y [math] hasta que intersecten al circuncírculo de [math] en [math] y [math], respectivamente. Como [math] por ser opuestos por el vértice y [math] por ser radios, entonces [math] y [math] son congruentes[math]. Por lo tanto [math] es cíclico, es decir, [math] pertenece al circuncírculo del [math] (2).
Nacional 1996 N3 P3 (3).png
De (1) y (2) sale que [math] son concíclicos. Análogamente se prueba que [math] son concíclicos y que [math] son concíclicos.

Usando otro dibujo, voy a demostrar que si hay cuatro puntos [math] con [math] en una circunferencia, y [math], entonces [math] y [math] es paralela a la recta que une los circuncentros de [math] y [math].
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Para la primera parte, como [math] entonces [math]. Para la segunda parte, sean [math] y [math] los circuncentros de [math] y [math]. Por arco capaz, [math] y [math], entonces [math] y [math], y además son isósceles en [math].
Por lo tanto [math], [math] y [math], y [math]. Por ser [math] y [math] isósceles y opuestos por el vértice, las mediatrices de [math] y [math] son coincidentes y pasan por [math], entonces [math] es una reflexión de [math], [math] una reflexión de [math] y [math] es su propia reflexión, todas respecto de la mediatriz de [math], por lo tanto, [math] es una reflexión de [math] con respecto de la mediatriz de [math], y sus circuncentros [math] y [math] también lo son. Pero eso significa que la recta [math] es perpendicular a la mediatriz de [math], entonces [math]. Como se quería demostrar.
Nacional 1996 N3 P3 (4).png
Volviendo al dibujo original, voy a demostrar que [math].
Por arco capaz, [math], pero como [math], usando nuevamente arco capaz, [math]. Se tiene que [math].
De manera análoga se prueba que [math] y que [math].
Nacional 1996 N3 P3 (5).png
Ahora, sabemos que [math] y [math] pertenecen a las circunferencias [math] y [math], y que estas circunferencias son distintas, entonces la recta [math] es el eje radical de [math] y [math], y por lo tanto es perpendicular a la recta que une sus centros, pero como la recta que une sus centros es paralela a [math], y [math] es paralela a [math], tenemos que la recta [math] es perpendicular a [math], y por lo tanto es altura de [math]. De forma análoga, se demuestra que las rectas [math] y [math] son alturas de [math].

Finalmente, las alturas de [math] se cortan en [math], como se quería ver.
Nacional 1996 N3 P3 (6).png
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[math]

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