Selectivo Cono Sur 2001 problema 5

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lucasdeamorin

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Selectivo Cono Sur 2001 problema 5

Mensaje sin leer por lucasdeamorin »

Sobre la recta [math] Pablo marca, de izquierda a derecha, los puntos [math], [math], [math] y [math]. Lucas debe construir, con regla y compás, un cuadrado [math], de lados [math], [math], [math] y [math], contenido en uno de los semiplanos determinados por la recta [math], de modo que [math] pertenezca a la recta [math], [math] pertenezca a la recta [math], [math] pertenezca a la recta [math] y [math] pertenezca a la recta [math].

Mostrar un procedimiento que siempre le permita a Lucas hacer la construcción y justificar porqué con dicho procedimiento siempre se logra el cuadrado pedido.
Si X tiende a [math], [math] se seca.
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Ivan

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Re: Selectivo Cono Sur 2001 problema 5

Mensaje sin leer por Ivan »

Spoiler: mostrar
Supongamos que el cuadrado ya está construido.
selcono2001p5.png
Por Tales, [math] y entonces [math]. Análogamente [math]. Como [math] tenemos
[math]
Además [math] cumple [math].

Ahora notemos que si conseguimos un punto [math] que cumpla [math] y [math] podemos construir el cuadrado:
  • [math] es la intersección de [math] y la paralela a [math] por [math]
  • [math] es la intersección de [math] y la paralela a [math] por [math]
  • [math] es la intersección de [math] y [math]
En efecto [math] es un cuadrado, ya que es un paralelogramo con [math] y por tales (usado como antes) tenemos [math].

Veamos como construir tal punto [math]. Claramente [math] debe estar en la circunferencia de diámetro [math].

Ahora usamos circunferencia de Apolonio:
Circunferencia de Apolonio escribió:Dados dos puntos [math] y [math], el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math] es una circunferencia.
Lo importante en este problema es como construir la circunferencia de Apolonio (claramente vamos a tomar [math]). De este post se deduce como se construye (seguramente hay una forma más fácil sin usar inversión).
El punto [math] que buscamos va a ser la intersección de la circunferencia de Apolonio con la de diámetro [math].
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Vladislao

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Re: Selectivo Cono Sur 2001 problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao »

Ivan escribió: Lo importante en este problema es como construir la circunferencia de Apolonio (claramente vamos a tomar [math]). De este post se deduce como se construye (seguramente hay una forma más fácil sin usar inversión).
Dado un segmento [math], se puede hallar [math] e [math] en la recta [math] tales que [math] (donde [math] está fijo). Esto es fácil de hacer con regla y compás, siempre que [math] sea construible (o esté dado de alguna manera), un hint es usar un Thales conveniente. En fin, la circunferencia de Apolonio es la que tiene como diámetro [math] (esto sale del post de Nacho con proyectiva, o del post mío con analítica).
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
Fedex

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Re: Selectivo Cono Sur 2001 problema 5

Mensaje sin leer por Fedex »

Una sin circunferencia de Apolonio.
Spoiler: mostrar
Sea $PR \cap r = X$, notemos que $X$ es el centro de la homotecia que lleva $\triangle BRC$ a $\triangle APD$.
La razón y centro de esta homotecia están únicamente definidos cualesquiera sean $P$ y $R$ ya que lleva $BC$ a $AD$ (que están fijos).
Luego $X$ puede construirse realizando cualquier homotecia de esta forma:
- Trazamos una recta por $D$ y trazamos su paralela por $C$.
- Trazamos una recta por $A$ y trazamos su paralela por $B$.
- La que pasa por $B$ y la que pasa por $C$ se cortan en $K$. La que pasa por $A$ y la que pasa por $D$ se cortan en $J$.
- $KJ \cap r = X$.

Ahora como $QPSR$ es un cuadrado la $RX$ biseca a $\angle BRC$ en dos ángulos de $45°$.
La forma de construirnos $R$ seria:
- Marco la circunferencia de diametro $BC$.
- Marco el punto medio del arco $BC$, lo llamo $E$.
- La intersección de $EX$ con la circunferencia, es $R$.

$P$ se marca completando la homotecia, $Q = RC \cap AP$ y $S = PD \cap BR$.
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This homie really did 1 at P6 and dipped.
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