Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

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CarlPaul_153
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Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Lun 17 Feb, 2014 12:19 am

Dado un triángulo ABC con el lado AB mayor que el BC, sean M el punto medio de AC y L el punto en el que la bisectriz del ángulo B corta al lado AC. Se traza por M la recta paralela a AB, que corta a la bisectriz BL en D, y se traza por L la recta paralela al lado BC que corta a la mediana BM en E. Demostrar que ED es perpendicular a BL.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

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CarlPaul_153
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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Lun 17 Feb, 2014 12:19 am

Llamemos P a la intersección de la paralela a BC trazada por L en el segmento AB
Llamemos Q a la intersección de la paralela a AB trazada por M en el segmento BC
Llamemos O a la intersección de LP y MQ.

Por enunciado, BPOQ es un paralelogramo, por lo tanto POQ=B y OQB=BPO=180-B.
Como MQ es paralela a AB los triangulos ABL y MDL son congruentes de donde MDL=ABL=B/2.
Como DOL=180-B y ODL=B/2, OLD=B/2

(1) MEO es congruente a MBQ ---->ME/MB = EO/BQ
(2) MEL es congruente a MBC ----> ME/MB = EL/BC

de (1) y (2) tenemos que:
EO/BQ = EL/BC
Por ser MQ base media BC=2BQ, por lo tanto
EO/BQ = EL/2BQ -----> EL = 2EO, de donde EO=OL

El triangulo ELD tiene como mediana a OD, y OD=OL=EO, por lo tanto el angulo LDE es rectángulo.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

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Fran5

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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 17 Feb, 2014 4:27 pm

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Tenemos que [math] es paralela a [math] y que [math] es paralela a [math]

Sea [math], tenemos que [math] es base media de [math], por lo tanto [math] es el punto medio de [math]
Al tener [math] paralela a [math] resulta que [math] es punto medio de [math]

Para demostrar que [math] podemos usar que [math] es mediana y [math]

Solo nos queda demostrar que [math]

Pero como [math] es bisectriz y [math] es paralela a [math] resulta

[math]

Y como [math] es paralela a [math] resulta que [math] y estamos
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 17 Sep, 2017 11:53 pm

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Sea [math] el punto medio de [math], [math] tal que [math] es bisectriz de [math], [math] y [math] la recta paralela a [math] por [math]. Luego, [math].

Como [math] es base media, entonces [math], [math], [math] son colineales. Luego, en [math] las cevianas [math], [math] y [math] concurren en [math]. Por Ceva [math], como [math], entonces [math] y por lo tanto [math] y por Thales [math]. Luego, [math], [math] y [math] son colineales.

Por paralelas [math], por puntos medios y base media [math]. Luego, [math] y [math] son homotéticos de razón [math] y por lo tanto [math] y por Thales [math]. Luego, [math] y [math], como [math] es bisectriz de [math] resulta [math]. Combinando las igualdades y usando las colinearidades resulta [math] es diámetro del circuncírculo de [math] y por lo tanto [math].
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

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