Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

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Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

UNREAD_POSTpor CarlPaul_153 » Lun 17 Feb, 2014 12:19 am

Dado un triángulo ABC con el lado AB mayor que el BC, sean M el punto medio de AC y L el punto en el que la bisectriz del ángulo B corta al lado AC. Se traza por M la recta paralela a AB, que corta a la bisectriz BL en D, y se traza por L la recta paralela al lado BC que corta a la mediana BM en E. Demostrar que ED es perpendicular a BL.
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

UNREAD_POSTpor CarlPaul_153 » Lun 17 Feb, 2014 12:19 am

Llamemos P a la intersección de la paralela a BC trazada por L en el segmento AB
Llamemos Q a la intersección de la paralela a AB trazada por M en el segmento BC
Llamemos O a la intersección de LP y MQ.

Por enunciado, BPOQ es un paralelogramo, por lo tanto POQ=B y OQB=BPO=180-B.
Como MQ es paralela a AB los triangulos ABL y MDL son congruentes de donde MDL=ABL=B/2.
Como DOL=180-B y ODL=B/2, OLD=B/2

(1) MEO es congruente a MBQ ---->ME/MB = EO/BQ
(2) MEL es congruente a MBC ----> ME/MB = EL/BC

de (1) y (2) tenemos que:
EO/BQ = EL/BC
Por ser MQ base media BC=2BQ, por lo tanto
EO/BQ = EL/2BQ -----> EL = 2EO, de donde EO=OL

El triangulo ELD tiene como mediana a OD, y OD=OL=EO, por lo tanto el angulo LDE es rectángulo.
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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

UNREAD_POSTpor Fran5 » Lun 17 Feb, 2014 4:27 pm

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Tenemos que $LE$ es paralela a $BC$ y que $MD$ es paralela a $AB$

Sea $N=MD \cap BC$, tenemos que $MN$ es base media de $ABC$, por lo tanto $N$ es el punto medio de $BC$
Al tener $LE$ paralela a $BC$ resulta que $O=MD \cap LE$ es punto medio de $LE$

Para demostrar que $L \widehat{D}E=90^{\circ}$ podemos usar que $DO$ es mediana y $LO=DO=EO$

Solo nos queda demostrar que $LO=DO$

Pero como $BL$ es bisectriz y $LE$ es paralela a $BC$ resulta

$E \widehat{L}B=C \widehat{B}L=L \widehat{B}A$

Y como $DO$ es paralela a $AB$ resulta que $L \widehat{D}O=D \widehat{L}O$ y estamos
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Re: Nacional 2000 - Nivel 3 - Problema 2

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 17 Sep, 2017 11:53 pm

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Sea $F$ el punto medio de $BC$, $G$ tal que $FG$ es bisectriz de $M\widehat FC$, $H=CD\cap BM$ y $r$ la recta paralela a $BC$ por $L$. Luego, $E=r\cap BM$.

Como $MF$ es base media, entonces $MF\parallel AB\parallel MD\Rightarrow M$, $D$, $F$ son colineales. Luego, en $\triangle MBC$ las cevianas $MF$, $BL$ y $CH$ concurren en $D$. Por Ceva $\frac{ML}{LC}\frac{CF}{FB}\frac{BH}{HM}=1$, como $CF=FB$, entonces $\frac{CF}{FB}=1$ y por lo tanto $\frac{ML}{LC}\frac{BH}{HM}=1\Rightarrow \frac{ML}{LC}=\frac{HM}{BH}$ y por Thales $HL\parallel BC\Rightarrow HL=r\Rightarrow H=r\cap BM=E$. Luego, $E$, $D$ y $C$ son colineales.

Por paralelas $M\widehat FC=A\widehat BC$, por puntos medios y base media $\frac{CM}{CA}=\frac{MF}{AB}=\frac{FC}{BC}=\frac{1}{2}$. Luego, $\triangle ABC$ y $\triangle MFC$ son homotéticos de razón $\frac{1}{2}$ y por lo tanto $\frac{GC}{LC}=\frac{1}{2}$ y por Thales $FG\parallel BL$. Luego, $G\widehat FD=F\widehat DB$ y $G\widehat FC=L\widehat BC$, como $FG$ es bisectriz de $M\widehat FC$ resulta $M\widehat FG=G\widehat FC$. Combinando las igualdades y usando las colinearidades resulta $F\widehat DB=F\widehat BD\Rightarrow FD=FB=FC\Rightarrow BC$ es diámetro del circuncírculo de $\triangle BCD$ y por lo tanto $CD\perp BD\Rightarrow ED\perp BL$.
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