P3 N2 Zonal 2010

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amcandio

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P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por amcandio »

Sea [math] un triángulo rectángulo en [math], con [math], y [math], [math], [math] puntos de los lados [math], [math], [math], respectivamente, tales que [math] es un cuadrado. La circunferencia de centro [math] y radio [math] corta a la hipotenusa [math] en los puntos [math] y [math], con [math] entre [math] y [math], y [math] entre [math] y [math]. Si [math] y [math], calcular la longitud del segmento [math].
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crimeeee
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Re: P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por crimeeee »

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Imagen

En [math] tenemos que [math] por ser radio de la circunferencia. Como [math], entonces [math]. Además [math] por ser radio. Entonces podemos averiguar [math] por el T. de Pitágoras:

[math]. Entonces [math].

Tenemos que [math] por radio, al igual que [math]. Dado que [math] y [math] tienen sus respectivos lados paralelos, entonces son semejantes y se puede establecer lo siguiente:

[math]

[math]


[math]

[math] (periódico el 6)
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3,14

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Zonal 2010 N2

Mensaje sin leer por 3,14 »

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Llamamos al segmento [math] "[math]".Como el segmento PQ es radio de la circunferencia, entonces el lado del cuadrado medirá igual que el radio, es decir, 4.
En el triángulo PBR usamos pitágoras y obtenemos que BR es igual a 3:
[math]
Con pitágoras planteamos luego (tomando el triángulo APQ):
[math]
Tomando ahora el triángulo ABC (del cual sabemos que su hipotenusa mide (por dato) [math], y que un cateto mide [math] y el otro [math]
Planteo Pitágoras:
[math]
Aplicando cuadrado del binomio:
[math]
Y reemplazando con la fórmula obtenida anteriormente:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]
Aplicando bascara, queda:
[math]
De lo que queda que [math]
[math]
ktc123

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Re: Zonal 2010 N2

Mensaje sin leer por ktc123 »

Solución sin baskhara
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Vemos que como la semicircunferencia de centro [math] pasa por [math],[math],[math] y [math], y por ser radios de la misma, [math]. Luego por pitágoras en el triángulo [math] sale que [math]. Ahora llamemos a [math] y a [math]. Es fácil de ver que como [math] es paralelo a [math], por correspondientes entre paralelas se cumple que [math] y análogamente [math]. Con estas igualdades de ángulos concluímos que el triángulo [math] es similar al triángulo [math] y entonces se cumple esta igualdad: [math]
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geronimolahoz
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Re: P3 N2 Zonal 2010

Mensaje sin leer por geronimolahoz »

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Como la circunferencia pasa por $P, E, D, R, Q$ entonces $EP = PD = PQ = PR = 4$
Tambien sabemos que $BR = 3$ por pitagoras y que $BE = 1$
Y como tienen todos sus lados paralelos, $APQ$ y $PBR$ son semejantes.
Luego,
$\frac{RB}{PQ} = \frac{PB}{AP}$ y $\frac{3}{4} = \frac{5}{4 + AD}$
Cuando hacemos la ecuacion, pasamos los terminos y nos queda lo sgte:
$AD - 4= \frac{20}{3}$

Respuesta:
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$AD = \frac{8}{3}$
Convoco a @FabriATK a hacer: viewtopic.php?f=15&t=2635
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:twisted:
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