22º APMO (2010) - Problema 1

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22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor ésta » Sab 19 Feb, 2011 2:07 am

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC \neq 90^\circ$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$, supongamos que $\Gamma$ interseca al segmento $AB$ en el punto $P$, distinto de $B$, y al segmento $AC$ en $Q$, distinto de $C$. Sea $ON$ un diámetro de la circunferencia $\Gamma$.
Demostrar que el cuadrilátero $APNQ$ es un paralelogramo.
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor Vladislao » Sab 19 Feb, 2011 5:26 pm

Notemos que:

$\measuredangle OAP =\measuredangle OAB =\measuredangle OBA =\measuredangle OBP =\measuredangle ONP$

Análogamente:

$\measuredangle OAQ = \measuredangle OAC = \measuredangle OCA = \measuredangle OCQ = \measuredangle ONQ$

Sumando ambas igualdades, tenemos que:

$\measuredangle OAP + \measuredangle OAQ = \measuredangle ONP + \measuredangle ONQ$

De ahí, es inmediato que:

$\measuredangle PAQ = \measuredangle PQN$ (1)

Además, como el segmento ON es mediatriz del segmento BC, tenemos que N es el punto medio del arco BC de la circunferencia $\Gamma$

Entonces, tenemos que: $\measuredangle NQC = \measuredangle NPB \Rightarrow \measuredangle AQN = \measuredangle APN$ (2).

De (1) y (2), se sigue que APQN es un paralelogramo.
Sea $\theta = 1,3063778838...$ Para todo entero positivo $k$ se cumple que $\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor$ es un número primo.
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor Fran5 » Dom 01 Mar, 2015 3:39 pm

Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor franco_bongiova » Dom 12 Mar, 2017 12:09 pm

Fran5 escribió:Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$


Una pregunta. Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor Fran5 » Dom 12 Mar, 2017 12:42 pm

franco_bongiova escribió:
Fran5 escribió:Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$


Una pregunta. Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.


$CQN = CON$ por arco capaz en la circunferencia $\Gamma$

$2 CON = COB$ puesto que $COB = CON+NOB$ y $CON=COB$ al ser simétricos respecto de la recta $ON$ (observar que $ON$ es la mediatriz de $BC$).

$2 CAB = COB$ puesto que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$

Espero que esa haya sido tu duda.

PD: Latex desde el celular anda, pero es complicado usarlo :P
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor franco_bongiova » Dom 12 Mar, 2017 1:39 pm

Fran5 escribió:$2 CON = COB$ puesto que $COB = CON+NOB$ y $CON=COB$


Imagino que $CON = NOB$, no?
Si es asi, entendi perfecto. Gracias. Esa era mi duda...
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

UNREAD_POSTpor Fran5 » Dom 12 Mar, 2017 6:41 pm

Exactamente :)
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