22º APMO (2010) - Problema 1

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22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por ésta » Sab 19 Feb, 2011 2:07 am

Sea [math] un triángulo con [math]. Sea [math] el circuncentro del triángulo [math] y sea [math] la circunferencia circunscrita del triángulo [math], supongamos que [math] interseca al segmento [math] en el punto [math], distinto de [math], y al segmento [math] en [math], distinto de [math]. Sea [math] un diámetro de la circunferencia [math].
Demostrar que el cuadrilátero [math] es un paralelogramo.
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Vladislao

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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 19 Feb, 2011 5:26 pm

Notemos que:

[math]

Análogamente:

[math]

Sumando ambas igualdades, tenemos que:

[math]

De ahí, es inmediato que:

[math] (1)

Además, como el segmento ON es mediatriz del segmento BC, tenemos que N es el punto medio del arco BC de la circunferencia [math]

Entonces, tenemos que: [math] (2).

De (1) y (2), se sigue que APQN es un paralelogramo.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Fran5

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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 01 Mar, 2015 3:39 pm

Otra parecida, usando angulitos

Veamos que [math], y análogamente para [math]

En efecto, al estar [math] en la mediatriz de [math], también lo está [math], de modo que [math] es bisectriz de [math]

Entonces en [math], tenemos [math] y por tanto [math]
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por franco_bongiova » Dom 12 Mar, 2017 12:09 pm

Fran5 escribió:Otra parecida, usando angulitos

Veamos que [math], y análogamente para [math]

En efecto, al estar [math] en la mediatriz de [math], también lo está [math], de modo que [math] es bisectriz de [math]

Entonces en [math], tenemos [math] y por tanto [math]
Una pregunta. Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.
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Fran5

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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 12 Mar, 2017 12:42 pm

franco_bongiova escribió:
Fran5 escribió:Otra parecida, usando angulitos

Veamos que [math], y análogamente para [math]

En efecto, al estar [math] en la mediatriz de [math], también lo está [math], de modo que [math] es bisectriz de [math]

Entonces en [math], tenemos [math] y por tanto [math]
Una pregunta. Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.
[math] por arco capaz en la circunferencia [math]

[math] puesto que [math] y [math] al ser simétricos respecto de la recta [math] (observar que [math] es la mediatriz de [math]).

[math] puesto que [math] es el circuncentro del triángulo [math]

Espero que esa haya sido tu duda.

PD: Latex desde el celular anda, pero es complicado usarlo :P
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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por franco_bongiova » Dom 12 Mar, 2017 1:39 pm

Fran5 escribió: [math] puesto que [math] y [math]
Imagino que [math], no?
Si es asi, entendi perfecto. Gracias. Esa era mi duda...
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Fran5

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Re: 22º APMO (2010) - Problema 1

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 12 Mar, 2017 6:41 pm

Exactamente :)
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