Selectivo Cono Sur 2014 P5

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Ivan

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Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por Ivan » Mar 08 Abr, 2014 7:13 pm

En un triángulo acutángulo [math] sea [math] en el segmento [math] tal que [math] es la bisectriz del ángulo [math]. La perpendicular a [math] trazada por [math] corta a la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math] en [math] y [math]. Sea [math] el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo [math]. Demostrar que [math], [math] y [math] son colineales.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Mariano Juncal

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Re: Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por Mariano Juncal » Mar 08 Abr, 2014 8:24 pm

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[math] por ser el angulo al centro, entonces [math] pues [math]. Queremos ver que [math]. [math] por arco capaz. [math], [math]. Con lo cual [math] lo cual demuestra lo pedido.
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Fran5

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Re: Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 08 Abr, 2014 9:09 pm

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Sea [math] la interseccion de [math] y [math]. Sea [math] la interseccion de [math] y [math]
[math] es isósceles. Llamemos [math] al ortocentro, [math] a la interseccion de [math] y [math], y [math] a la interseccion de [math] y [math].
Tenemos que [math] puesto que [math] y [math] son conjugados isogonales respecto del ángulo [math]

Veamos que [math]
[math] es cíclico por enunciado. Luego [math]

Y como [math] tenemos que [math] es cíclico, y [math]

Y estamos :D
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elcolectivero
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Re: Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por elcolectivero » Mié 09 Abr, 2014 7:43 pm

La idea de mi solución
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No lo volvi a dibujar, pero lo que hice basicamente era prolongar AE, cortando en L en la circunferencia que contiene a A, B y C. Entonces, si el arco capaz de AL es 90 ganas. Sacabas que ABL era 90 nombrando a los dos angulitos iguales por bisectriz, viendo que la bizectriz era mediatriz de un segmento y ahi un par mas de angulitos y arcos capaces.

ktc123

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Re: Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por ktc123 » Jue 10 Abr, 2014 4:26 pm

Otra un poco más rebuscada
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Sean [math], [math] y [math] los ángulos de [math], [math] y [math] respectivamente, y sea [math] la intersección de [math] con [math]. Por arco capaz, [math], de donde [math]. Por ser ángulo exterior [math], es decir que [math]. También al ser [math] cíclico resulta que [math]. Por suma de ángulos internos en [math], [math].


Ahora definamos un punto [math] en [math] tal que [math]. Por ser ángulo exterior sigue que [math], de donde [math]. Por otro lado, también por ser ángulo externo, [math]. Al despejar surge que [math] (la última igualdad por suma de ángulos internos en [math]). A este punto, notemos que los triángulos [math] y [math] son el mismo ya que tienen todos sus ángulos y lados iguales. Como consecuencia sigue que [math], entonces sigue que [math], [math] y [math] están alineados.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Cono Sur 2014 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 20 Jul, 2018 1:32 am

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Sean $C\widehat AB=2\alpha$, $A\widehat BC=2\beta$ y $B\widehat CA=2\gamma$, luego, $D\widehat AB=\alpha$ y $2\alpha +2\beta +2\gamma =180°$. Por lo tanto $B\widehat DA=180°-\alpha -2\beta =2\alpha +2\beta +2\gamma -\alpha -2\beta =\alpha +2\gamma$. Como $BE\perp AD$ tenemos $D\widehat BD=180°-90°-B\widehat DA=90°-(\alpha +2\gamma )=\alpha +\beta +\gamma -\alpha -2\gamma =\beta -\gamma \Rightarrow D\widehat AE=\beta -\gamma$ por arco capaz.
Ahora, $A\widehat OC=4\gamma$ y $AO=OB$. Luego, $B\widehat AO=\frac{1}{2}(180°-4\gamma )=90°-2\gamma =\alpha +\beta +\gamma -2\gamma =\alpha +\beta -\gamma$. Por lo tanto $D\widehat AO=B\widehat AO-D\widehat AB=\alpha +\beta -\gamma -\alpha =\beta -\gamma$
Entonces $D\widehat AO=D\widehat AE$ y $A,O,E$ son colineales.
[math]

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