Intercolegial 1999 N3 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
gustavo3
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Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por gustavo3 »

Sean [math] un cuadrado de lados [math] y [math] un punto exterior al cuadrado tal que el triángulo [math] es rectángulo en [math]. Si [math] y [math], hallar las medidas de [math] y [math].
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Hechicero

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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por Hechicero »

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Esta bien copiado? Porque cuando marco [math] en el triangulo [math] me queda en un lado, pero es un punto que esta afuera de la circunferencia de diametro [math].
inter.png
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1  
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
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FaC7oR
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por FaC7oR »

Tengo que aclarar que me entretuve un ratito con este ejercicio, es dentro de todo lindo...
Spoiler: mostrar
Imagen
Bueno, primero que nada, pido disculpas por el desastroso dibujo de Paint. Segundo, si alguien tiene una solución más sencilla o menos vueltera, favor de publicarla.

[math]

[math]

[math] [math]

[math]

[math]

Trazamos el segmento [math], cuya intersección con [math] determinará al punto [math], y [math] será altura del triángulo [math].

Comenzamos con un simple Pitágoras para hallar [math] y [math], iguales a [math] y [math] respectivamente.

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Sabiendo esto resolvemos [math] en función de [math].

[math]

[math]

[math]

Entonces ahora reemplazamos.

[math]

[math]

Despejando nos queda:

[math]

[math]

Por ende [math]

Ahora utilizando nuevamente Pitágoras despejamos [math] y [math] en función de [math].

[math]

[math]

Pitágoras again reemplazando [math] y [math] por lo que acabamos de obtener...

[math]

[math]

[math]

Reemplazamos [math] en las fórmulas anteriores y determinamos los valores de [math] y [math]

[math]

[math]

Para concluir con el ejercicio finalmente:

[math]

[math]

Lo comprobamos:

[math]

[math]

[math]

[math]

Lo único que me pareció interesante de este problema es que sale con un solo teorema aplicado 47 veces...
Si alguien encuentra algún error o alguna solución más sencilla preferiría que sea publicada...

[math]
Última edición por FaC7oR el Dom 18 May, 2014 6:55 pm, editado 1 vez en total.
[math]

[math]
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Fran5

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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por Fran5 »

Igual, se puede demostrar por potencia de un punto que [math]

Probe tratar de resolverlo con [math] y [math], dejando [math] como incognita.. cosa fea D:
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
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Hechicero

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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por Hechicero »

FaC7oR escribió:Tengo que aclarar que me entretuve un ratito con este ejercicio, es dentro de todo lindo...
Spoiler: mostrar
Imagen
Bueno, primero que nada, pido disculpas por el desastroso dibujo de Paint. Segundo, si alguien tiene una solución más sencilla o menos vueltera, favor de publicarla.

[math]

[math]

[math] [math]

[math]

[math]

Trazamos el segmento [math], cuya intersección con [math] determinará al punto [math], y [math] será altura del triángulo [math].

Comenzamos con un simple Pitágoras para hallar [math] y [math], iguales a [math] y [math] respectivamente.

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Sabiendo esto resolvemos [math] en función de [math].

[math]

[math]

[math]

Entonces ahora reemplazamos.

[math]

[math]

Despejando nos queda:

[math]

[math]

Por ende [math]

Ahora utilizando nuevamente Pitágoras despejamos [math] y [math] en función de [math].

[math]

[math]

Pitágoras again reemplazando [math] y [math] por lo que acabamos de obtener...

[math]

[math]

[math]

Reemplazamos [math] en las fórmulas anteriores y determinamos los valores de [math] y [math]

[math]

[math]

Para concluir con el ejercicio finalmente:

[math]

[math]

Lo comprobamos:

[math]

[math]

[math]

[math]

Lo único que me pareció interesante de este problema es que sale con un solo teorema aplicado 47 veces...
Si alguien encuentra algún error o alguna solución más sencilla preferiría que sea publicada...

[math]
Había llegado a lo mismo, pero para encontrar [math] lo calcule de dos maneras:
Primera: Por el teorema de la altura,

[math]
[math] Como te dio a vos,
pero como [math], [math] y [math] son colineales ya que son la altura de [math], puedo calcular [math] por pitagoras, seria:
[math],
[math], por lo que [math], y de ahi sale mi confusion...
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
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FaC7oR
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por FaC7oR »

De hecho [math], me refiero, simple Pitágoras. No veo cómo llegás a que [math].
Podrías explicarme cómo obtuviste eso? No lo veo bajo ninguna circunstancia. :/
[math]

[math]
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Hechicero

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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por Hechicero »

FaC7oR escribió:De hecho [math], me refiero, simple Pitágoras. No veo cómo llegás a que [math].
Podrías explicarme cómo obtuviste eso? No lo veo bajo ninguna circunstancia. :/
Uf, copie mal, jaja

Es [math]
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
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FaC7oR
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por FaC7oR »

Entonces me ponés en duda a mí, puede ser que sea cierto lo que hiciste con el Geogebra, y que el enunciado esté mal. Habría que buscar alternativas de resolución para ver si todos llegan a lo mismo.
En todo caso este problema, siendo que esté mal copiado, debería terminar en un absurdo, como lo estás sugiriendo, porque entiendo que no concuerdan ambas medidas de [math]. Voy a ponerme a mirar mi resolución para ver si encuentro un error, y si no es el enunciado que está mal copiado...
Muy buena observación la tuya :mrgreen:
[math]

[math]
gustadilo
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por gustadilo »

Perfecto el análisis, están mal los datos. Al año siguiente en el libro Problemas, le cambian los datos. Papelón!
1  
Stefi30
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3

Mensaje sin leer por Stefi30 »

Quisiera saber si esta bien o en que fallé. Gracias
√(S (s-a) (s-b) (s-c)) .
√(162 (162-130) (162-122) (162-72))
√(162 .32 .40.90)
√18662400
4320. Esa es el área del triangulo DPC, obtenido a través de la fórmula de Herón.
Entonces (B.H) :2 = 4320
(72. H) = 4320 . 2
H= 8640:72
H= 120
Teniendo la altura dividimos al triangulo DPC, es dos triángulos rectángulos: DPN y CPN
Entonces a través de Pitágoras sacamos cuanto es la base de cada uno, que juntos suman 72 (lado del cuadrado DC)
130ˆ2 = 120ˆ2 - DNˆ2
16900 – 14400 = DNˆ2
2500= DNˆ2
√2500= DN
50 = DN Entonces si DC = 72, DN + NC =72, NC = 22
Al ser un cuadrado no se modifica en ningún lado. Es decir que sobre el triangulo APB que esta sobre él, las intersecciones valen 50 y 22. Dijimos que la altura de todo el polígono era 120, si le restamos la altura del cuadrado, obtendremos que la altura del triángulo APB es 48. Y a partir de ahí podemos con Pitágoras sacar cuanto vale AP y PB. Quedan determinados 2 triángulos: APN” y PBN”. N”: 90° es el punto en el que se corta la altura del polígono con el lado del cuadrado AB.
APN”
APˆ2= PNˆ2 + N”Aˆ2
APˆ2= 48ˆ2 + 50ˆ2
APˆ2 = 2304 + 2500
AP= √4804
AP= 69.3
PBN”
PBˆ2= BN” ˆ2 + N” Pˆ2
PBˆ2 = 22ˆ2 + 48ˆ2
PBˆ2 = 484 + 2304
PB= √2788
PB=52.8

Aclaración: Puse N” porque separaban a distintos lados del cuadrado, pero representaban el mismo valor para los segmentos. Además PN”= es la altura del triángulo APB =48
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