Intercolegial 1999 N3 P3
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• Archivo de Enunciados • Competencias de Argentina • Intercolegial • 1999 • Nivel 3Intercolegial 1999 N3 P3
Sean [math] un cuadrado de lados [math] y [math] un punto exterior al cuadrado tal que el triángulo [math] es rectángulo en [math]. Si [math] y [math], hallar las medidas de [math] y [math].
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
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No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Tengo que aclarar que me entretuve un ratito con este ejercicio, es dentro de todo lindo...
Si alguien encuentra algún error o alguna solución más sencilla preferiría que sea publicada...
[math]
Si alguien encuentra algún error o alguna solución más sencilla preferiría que sea publicada...
[math]
Última edición por FaC7oR el Dom 18 May, 2014 6:55 pm, editado 1 vez en total.
[math]
[math]
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Fran5
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Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Igual, se puede demostrar por potencia de un punto que [math]
Probe tratar de resolverlo con [math] y [math], dejando [math] como incognita.. cosa fea D:
Probe tratar de resolverlo con [math] y [math], dejando [math] como incognita.. cosa fea D:
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Había llegado a lo mismo, pero para encontrar [math] lo calcule de dos maneras:FaC7oR escribió:Tengo que aclarar que me entretuve un ratito con este ejercicio, es dentro de todo lindo...
Si alguien encuentra algún error o alguna solución más sencilla preferiría que sea publicada...
[math]
Primera: Por el teorema de la altura,
[math]
[math] Como te dio a vos,
pero como [math], [math] y [math] son colineales ya que son la altura de [math], puedo calcular [math] por pitagoras, seria:
[math],
[math], por lo que [math], y de ahi sale mi confusion...
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
De hecho [math], me refiero, simple Pitágoras. No veo cómo llegás a que [math].
Podrías explicarme cómo obtuviste eso? No lo veo bajo ninguna circunstancia. :/
Podrías explicarme cómo obtuviste eso? No lo veo bajo ninguna circunstancia. :/
[math]
[math]
[math]
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Uf, copie mal, jajaFaC7oR escribió:De hecho [math], me refiero, simple Pitágoras. No veo cómo llegás a que [math].
Podrías explicarme cómo obtuviste eso? No lo veo bajo ninguna circunstancia. :/
Es [math]
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Entonces me ponés en duda a mí, puede ser que sea cierto lo que hiciste con el Geogebra, y que el enunciado esté mal. Habría que buscar alternativas de resolución para ver si todos llegan a lo mismo.
En todo caso este problema, siendo que esté mal copiado, debería terminar en un absurdo, como lo estás sugiriendo, porque entiendo que no concuerdan ambas medidas de [math]. Voy a ponerme a mirar mi resolución para ver si encuentro un error, y si no es el enunciado que está mal copiado...
Muy buena observación la tuya
En todo caso este problema, siendo que esté mal copiado, debería terminar en un absurdo, como lo estás sugiriendo, porque entiendo que no concuerdan ambas medidas de [math]. Voy a ponerme a mirar mi resolución para ver si encuentro un error, y si no es el enunciado que está mal copiado...
Muy buena observación la tuya
[math]
[math]
[math]
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Perfecto el análisis, están mal los datos. Al año siguiente en el libro Problemas, le cambian los datos. Papelón!
Re: Intercolegial 1999 N3 P3
Quisiera saber si esta bien o en que fallé. Gracias
√(S (s-a) (s-b) (s-c)) .
√(162 (162-130) (162-122) (162-72))
√(162 .32 .40.90)
√18662400
4320. Esa es el área del triangulo DPC, obtenido a través de la fórmula de Herón.
Entonces (B.H) :2 = 4320
(72. H) = 4320 . 2
H= 8640:72
H= 120
Teniendo la altura dividimos al triangulo DPC, es dos triángulos rectángulos: DPN y CPN
Entonces a través de Pitágoras sacamos cuanto es la base de cada uno, que juntos suman 72 (lado del cuadrado DC)
130ˆ2 = 120ˆ2 - DNˆ2
16900 – 14400 = DNˆ2
2500= DNˆ2
√2500= DN
50 = DN Entonces si DC = 72, DN + NC =72, NC = 22
Al ser un cuadrado no se modifica en ningún lado. Es decir que sobre el triangulo APB que esta sobre él, las intersecciones valen 50 y 22. Dijimos que la altura de todo el polígono era 120, si le restamos la altura del cuadrado, obtendremos que la altura del triángulo APB es 48. Y a partir de ahí podemos con Pitágoras sacar cuanto vale AP y PB. Quedan determinados 2 triángulos: APN” y PBN”. N”: 90° es el punto en el que se corta la altura del polígono con el lado del cuadrado AB.
APN”
APˆ2= PNˆ2 + N”Aˆ2
APˆ2= 48ˆ2 + 50ˆ2
APˆ2 = 2304 + 2500
AP= √4804
AP= 69.3
PBN”
PBˆ2= BN” ˆ2 + N” Pˆ2
PBˆ2 = 22ˆ2 + 48ˆ2
PBˆ2 = 484 + 2304
PB= √2788
PB=52.8
Aclaración: Puse N” porque separaban a distintos lados del cuadrado, pero representaban el mismo valor para los segmentos. Además PN”= es la altura del triángulo APB =48
√(S (s-a) (s-b) (s-c)) .
√(162 (162-130) (162-122) (162-72))
√(162 .32 .40.90)
√18662400
4320. Esa es el área del triangulo DPC, obtenido a través de la fórmula de Herón.
Entonces (B.H) :2 = 4320
(72. H) = 4320 . 2
H= 8640:72
H= 120
Teniendo la altura dividimos al triangulo DPC, es dos triángulos rectángulos: DPN y CPN
Entonces a través de Pitágoras sacamos cuanto es la base de cada uno, que juntos suman 72 (lado del cuadrado DC)
130ˆ2 = 120ˆ2 - DNˆ2
16900 – 14400 = DNˆ2
2500= DNˆ2
√2500= DN
50 = DN Entonces si DC = 72, DN + NC =72, NC = 22
Al ser un cuadrado no se modifica en ningún lado. Es decir que sobre el triangulo APB que esta sobre él, las intersecciones valen 50 y 22. Dijimos que la altura de todo el polígono era 120, si le restamos la altura del cuadrado, obtendremos que la altura del triángulo APB es 48. Y a partir de ahí podemos con Pitágoras sacar cuanto vale AP y PB. Quedan determinados 2 triángulos: APN” y PBN”. N”: 90° es el punto en el que se corta la altura del polígono con el lado del cuadrado AB.
APN”
APˆ2= PNˆ2 + N”Aˆ2
APˆ2= 48ˆ2 + 50ˆ2
APˆ2 = 2304 + 2500
AP= √4804
AP= 69.3
PBN”
PBˆ2= BN” ˆ2 + N” Pˆ2
PBˆ2 = 22ˆ2 + 48ˆ2
PBˆ2 = 484 + 2304
PB= √2788
PB=52.8
Aclaración: Puse N” porque separaban a distintos lados del cuadrado, pero representaban el mismo valor para los segmentos. Además PN”= es la altura del triángulo APB =48