P3 N2 Intercolegial 2010

[Ivan]

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos en una recta $r$, con $B$ entre $A$ y $C$, y sea $D$ un punto exterior a $r$. Se traza la recta paralela a $r$ por el punto $D$, que denominamos $s$. Se traza la bisectriz del ángulo $A\widehat BD$, que corta a la recta $s$ en $P$, y se traza la bisectriz del ángulo $C\widehat BD$, que corta a la recta $s$ en $Q$. Si $BP=12$ y $BQ=5$, calcular $BD$.

[bruno]

Spoiler: mostrar

http://img339.imageshack.us/i/imagenj.png/

Dado que [math]BP y [math]BQ son las bisectrices de [math]<ABD y [math]<CBD respectivamente; [math]<ABP=<DBP y [math]<CBQ=<QBD. A partir de ahora llamamos [math]X a [math]<ABP e [math]Y a [math]<CBQ.

Lo primero que tenemos es [math]2X+2Y=180
[math]2 (X+Y)=180
[math]X+Y=90

Dado que [math]<PBQ es igual a [math]X+Y entonces el triangulo [math]PBQ es rectangulo. Por lo tanto aplicamos Pitagoras:

[math]PB^2+QB^2=PQ^2
[math]12^2+5^2=PQ^2
[math]PQ^2=169
[math]PQ=13

Ya que la recta r//s podemos considerar como transversal a [math]BP de lo cual obtenemos que:
[math]<ABP=<BPQ=X por alternos internos.
Del mismo modo si consideramos transversal a [math]BQ :
[math]<CBQ=<PQB=Y

Por lo tanto los triangulos [math]PBD y [math]QBD son isosceles y tenemos que:
[math]BD=PD y [math]BD=QD. Por lo tanto [math]PD=QD

Y dado que [math]PQ=PD+QD=13

[math]BD=PD=QD=6,5

[lendsarctic280]

Spoiler: mostrar

Por $r\parallel s$, $D$ ser ponto de $s$ e $BP$ ser bissetriz de $\angle B$, $\angle PBQ=360\div2\div2=180\div2=90^{\circ}$. Assim, $BPQ$ é retângulo.

Por Pitágoras em $BPQ$, $$PQ=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$$ $D$ é o circuncentro desse triângulo onde $BD$ é raio, pois é o ponto de encontro das mediatrizes (por serem bissetrizes). Calculamos sua área por $\frac{12\times5}{2}=30$, ou com o circunraio: $\frac{12\times5\times13}{4BD}=30 \to \frac{780}{4BD}=30 \to 4BD=26 \to \boxed{BD=6.5}$