Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

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Caro - V3

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Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 23 Feb, 2011 6:37 pm

Dado un triángulo equilátero [math] sea [math] un punto del lado [math], con [math] y [math]. Se considera el punto [math] tal que el triángulo [math] sea equilátero y [math] y [math] estén en distintos semiplanos respecto de [math]. Sean [math], [math] y [math] los puntos medios de [math], [math] y [math] respectivamente. Demostrar que el triángulo [math] es equilátero.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Caro - V3

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Re: Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 23 Feb, 2011 6:58 pm

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[math] y [math] son triángulos equiláteros, por lo tanto todos sus ángulos son iguales a 60°, [math] y [math].

Sea [math] el punto medio de [math].
[math] es base media del triángulo [math], por lo tanto [math] y [math]

[math] es el punto medio de [math], entonces [math]

[math] es el punto medio de [math], entonces [math]

[math] es el punto medio de [math], entonces [math]
[math]

[math]

[math]

Los triángulos [math] y [math] tienen:
[math]
[math]
[math]
Por lo tanto son congruentes, y [math] y [math].

[math]

El triángulo [math] tiene [math] y [math], es decir, es un triángulo isósceles con un ángulo de [math], por lo tanto es equilátero.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Nacho

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Re: Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

Mensaje sin leer por Nacho » Lun 27 Ago, 2012 5:40 pm

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Esto sale con tres teoremas del coseno. Si vemos que [math] ganamos. Para eso, vamos a decir, [math] y [math]. Vamos a hallar [math]. Esto es [math]. Como [math] es equilátero, [math]. [math]. Entonces, [math].

El truco es elegir bien en qué triángulos vamos a usar el teorema del coseno. Estos van a ser [math], [math] y [math].

En [math]:
[math]


En [math]:
[math]


En [math]:
[math]


Entonces son iguales y [math] es equilátero. [math]
"Though my eyes could see I still was a blind man"

cogo

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Re: Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

Mensaje sin leer por cogo » Mié 04 Mar, 2015 3:45 am

Marcamos el punto medio [math] del segmento [math]. Es sencillo notar que el triángulo [math] es equilátero.
Notemos que [math].
Veamos que los triángulos [math] y [math] son congruentes ya que tienen [math] (al ser [math]), [math] y [math]. Por lo tanto, sabemos que [math], [math] y [math]. Además, cabe notar que [math].
Tenemos entonces [math] y [math] por lo que podemos afirmar que el triángulo [math] es equilátero, como se nos pedía demostrar.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo 18° Cono Sur 2007 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 03 Dic, 2017 5:32 pm

Spoiler: mostrar
Después de haber demostrado que $\triangle QSR$ y $\triangle QBP$ son congruentes, tenemos que $P\widehat QB=R\widehat QS\Rightarrow B\widehat QS=P\widehat QR$, como además $\frac{QB}{QP}=\frac{QS}{QR}$, $BS$ y $PR$ son rotohomotéticos de centro $Q$, entonces $\triangle BQS$ y $\triangle PQR$ son rotohomotéticos de centro $Q$, de donde $\triangle PQR$ es equilátero.
[math]

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