Entrenamiento IMO 2014 - Problema 18 (P2 TST Rumania 2013)

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Matías V5

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Entrenamiento IMO 2014 - Problema 18 (P2 TST Rumania 2013)

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 13 Jun, 2014 8:13 pm

Las circunferencias [math] y [math] son tangentes en un punto [math] ([math] es interior a [math]). Una cuerda [math] de [math] es tangente a [math] en [math]; la recta [math] corta nuevamente a [math] en [math]. Las cuerdas [math] y [math] de [math] son tangentes a [math]. Sean [math], [math] e [math] los incentros de los triángulos [math], [math] y [math] respectivamente. Demostrar que [math].
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"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento IMO 2014 - Problema 18 (P2 TST Rumania 2013)

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 30 Dic, 2019 5:58 pm

Solución:
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Screenshot_20191230-215546.png

Primero que nada, tenemos que $QA=QB$, de donde $(PQ,RQ,SQ)$ son bisectrices de $(\angle APB,\angle ARB,\angle ASB)$, por lo que $A,X,I,Y,B$ están sobre la circunferencia $\Gamma$ de centro $Q$ y radio $QA=QB$.
Consideremos la inversión por $\Gamma$, luego, $\Omega$ y $AB$ son inversos, por lo que $P$ y $C$ son inversos, de donde $QX^2=QY^2=QP\cdot QC$, es decir que $QX$ y $QY$ son tangentes a $\omega$.
Sea $\angle XQY=2\alpha$, luego, $\angle XPY=\angle XYQ=90°-\alpha$, y $\angle YIX=360°-\angle XIY=360°-(180°-\alpha )=180°+\alpha$, donde el ángulo $\angle YIX$ es cóncavo y el ángulo $\angle XIY$ es convexo (es decir, los estamos mirando en sentido antihorario), entonces $$\angle PXI+\angle PYI=360°-\angle XPY-\angle YIX=360°-(90°-\alpha )-(180°+\alpha )=90°$$
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