21º Cono Sur 2010 - Problema 5

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21º Cono Sur 2010 - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Jue 24 Feb, 2011 3:47 pm

El incírculo del triángulo [math] toca los lados [math], [math] y [math] en [math], [math] y [math], respectivamente. Sean [math], [math] y [math] los circuncírculos de los triángulos [math], [math] y [math], respectivamente.
Las rectas [math] y [math] cortan [math] en [math] y [math], respectivamente. Sea [math] la recta [math]. Se definen [math] y [math] de modo análogo. Demostrar que las rectas [math], [math] y [math] determinan un triángulo cuyos vértices pertenecen a los lados del triángulo [math].
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Vladislao

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Re: 21º Cono Sur 2010 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 24 Feb, 2011 5:46 pm

Este problema está hecho para cagarte MAL. Si dibujás todo lo que te dice el enunciado, morís. A ver, hago el intento:
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Probaremos que los puntos A, E, F, I son concíclicos.

Considere la cuerda EF, respecto del incírculo del [math], el ángulo [math] es el ángulo semiinscrito correspondiente a dicha cuerda. Entonces, el ángulo central [math]. En el triángulo [math] isósceles, tenemos que [math], entonces [math], y como [math], tenemos que el cuadrilátero AEFI es cíclico.

Consideremos la circunferencia k que pasar por A, E, F, I, sean H y J los puntos de corte de las rectas DF y DE con la circunferencia k. Sean X e Y los puntos de intersección de la recta HJ con los lados AB y AC respectivamente.

Por potencia de X respecto de k tenemos que: [math], y además, [math], tenemos que [math], en particular tenemos que [math], entonces [math]. De manera análoga podemos probar que [math], entonces AHDJ es un paralelogramo, y por ende HJ biseca a AD, y finalmente concluimos que la recta HJ es base media del ABC, y por ende X e Y son puntos medios de AB y AC respectivamente.

Si realizamos este procedimiento de manera análoga, vemos que las rectas [math], [math] y [math] determinan al triángulo medial del ABC, y por tanto, sus vértices pertenecen a los lados del triángulo original.

PD: Hay un par de detalles en los que no me extendí por falta de tiempo.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Re: 21º Cono Sur 2010 - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Jue 24 Feb, 2011 7:19 pm

No veo tan evidente que
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[math] (quizás lo sea, yo tuve que hacer unos cuantos angulitos).
Tampoco entiendo el último paso, [math] paralelogramo [math] base media.
Creo que te faltó una parte de la demostración en el medio.
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Vladislao

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Re: 21º Cono Sur 2010 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Jue 24 Feb, 2011 11:49 pm

Con respecto al último paso,
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es sencillo ver que la recta E_aF_a es paralela al lado del triángulo, por lo que si AE_aF_aD es paralelogramo, se sigue lo pedido. En un rato si consigo el Cabri o el Geogebra hago el dibujo y lo explico bien :)
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: 21º Cono Sur 2010 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 25 Dic, 2019 5:46 pm

Más fácil

Solución:
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Arrancamos con un lema conocido
Lema: Selectivo Cono 2019 - P3

Sea $I$ el incentro de $ABC$, luego, $AE\perp EI$ y $AF\perp FI$, de donde $AEIF$ es cíclico y su diámetro es $AI$.
Sea $E'=DE\cap BI$, por el Lema, tenemos que $\angle AE'I=\angle AE'B=90°$, de donde $E'\in \omega _b$. Como además $E'\in DE$ y es distinto de $E$ (pues en caso contrario tenemos que $AB=BC$, de donde $\angle DEF=\angle BAC$, por lo que $DE$ es tangente a $\odot AEIF$, y se sigue que $E_a=E$, absurdo), tenemos $E'\equiv E_a$, entonces por el Lema, $E_a$ está sobre la recta que contiene a la base media correspondiente a $A$ en $ABC$. Análogamente, $F_a$ está sobre dicha recta, de donde $r_A$ es la recta que contiene a la base media correspondiente a $A$ en $ABC$. Análogamente, $r_B$ y $r_C$ son las rectas que contienen a las bases medias correspondientes a $B$ y $C$, respectivamente, en $ABC$. Entonces todas pasan por los puntos medios de los lados a los que no son paralelas, que están sobre los lados del triángulo.
Queda Elegantemente Demostrado

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