Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 08 Ago, 2014 2:30 pm

Se tienen tres puntos alineados [math], [math], [math], con [math] entre [math] y [math]. Otro punto [math] que no pertenece a la recta [math] es tal que [math]. Si [math], calcular la medida del ángulo [math].
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Martín Vacas Vignolo
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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Vie 08 Ago, 2014 11:02 pm

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La condición es equivalente a [math], que es una cuadrática en [math], y nos da [math]. Con esto sabemos que [math] y luego, si [math] es el punto medio de [math] (ABC claramente es isósceles entonces MAC es rectángulo), tenemos que [math] y [math].
[math]

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FaC7oR
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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por FaC7oR » Sab 09 Ago, 2014 9:38 am

Yo llegué a lo mismo, solo que no sabía a qué ángulo pertenecía [math], y como no podemos usar calculadora, estamos al horno en ese sentido.
[math]

[math]

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Vladislao

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 09 Ago, 2014 3:20 pm

Se puede probar dibujando un pentágono regular que el seno de [math] es eso.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Fran5

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 10 Ago, 2014 10:53 am

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Haces una homotecia de centro [math] y razon [math]. De este modo, [math] (las homotecias guardan razones y angulos)

Si [math], tenemos

[math]

Desarrollando y pasando

[math]

[math]

[math]

[math]

Entonces, es facil ver que [math] y [math] son semejantes, y sigue que

[math]
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julianferres_

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por julianferres_ » Vie 05 Dic, 2014 2:50 am

Algo mas lindo
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[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

[math]

Luego [math] es tangente a [math] en [math]

Luego si [math]

Tenemos que [math]

Luego [math]

[math] [math]

fleschler.ian

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por fleschler.ian » Jue 30 Abr, 2015 1:56 am

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Operemos un poco:
[math]

[math]

[math] Remplazamos [math] por [math].

[math]

[math]

[math]

Restamos [math].

[math]

Ahora vamos a invertir por [math] con radio [math].
[math] ya que [math].
¿Que nos dice la relación [math]?
Sabemos por definición de inversión que [math] y [math]. Pero como [math] entonces de esto ultimo podemos deducir que [math] y [math].
Sel Ibero 2014 3.png
Como en una inversión [math](siendo [math] el centro de inversión,[math] y [math] dos puntos cualquiera). Aplicandolo a este problema sabemos que [math], que como [math] y [math] entonces [math]. Análogamente [math]. Hagamos angulitos, digamos que [math]. Como [math], [math]. [math]. Como [math] entonces [math]. Sabemos que [math] y que [math]. Como tenemos [math] entonces [math].
[math]
[math].
Podemos concluir que [math].
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Johanna

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Johanna » Vie 29 Jul, 2016 6:38 pm

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Primero operamos un poco:
[math]

[math]

[math]
[math]

Trazamos la circunferencia con centro en [math] y radio [math], y llamemos [math] a la interseccion de dicha circunferencia y la prolongación de [math], (es fácil ver que [math] cae en el interior de la circunferencia) por potencia de un punto [math], pero [math] entonces [math]
Sea [math] entonces como [math] es isosceles [math] y [math] y como [math] por ser radios [math]

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2014 Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 04 Dic, 2017 1:23 am

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Una vez que deducimos que $\frac{BD}{CD}=\phi$, y escalamos para que $CD=1\Rightarrow BD=\phi \Rightarrow BC=\phi -1$. Nos queda $\frac{AB}{BC}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{\phi -1}=\phi$, como $\triangle ABC$ es isósceles en $A$, resulta que es el triángulo áureo y por lo tanto $B\widehat AC=36°$
[math]

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