Iberoamericana 2009 P4

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Matías V5

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Iberoamericana 2009 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 16 Ago, 2014 2:16 pm

Dado un triángulo [math] de incentro [math], sean [math] la intersección de la bisectriz exterior del ángulo [math] y la circunferencia circunscripta a [math] y [math] la segunda intersección de [math] y la circunferencia circunscripta a [math]. Demostrar que las circunferencias circunscriptas a los triángulos [math] y [math] son respectivamente tangentes a [math] e [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Julian_Ferres

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Re: Iberoamericana 2009 P4

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Lun 02 May, 2016 3:21 pm

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Notemos que [math] es el punto medio de arco [math] que contiene a [math], por lo tanto [math]

Demostremos primero que [math] es tangente a [math], para eso probaremos que [math]

Denotemos [math] y [math]

Hay que probar entonces que [math], aunque ya tenemos que [math] por lo tanto solo bastaria demostrar que [math]

Para eso miremos el cuadrilatero [math], el angulo [math] por ciclicos y el angulo [math] (aca uso angulos exteriores y las bisectrices)

Luego [math] y estamos.


Para el otro notamos que si [math] y poniendo que [math]
nos da que [math]

Entonces [math] y estamos. [math]

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Gianni De Rico

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Re: Iberoamericana 2009 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 25 Jun, 2018 1:19 pm

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Sean $D$ y $E$ los puntos de intersección de $BI$ y $CI$ con el circuncírculo de $\triangle ABC$, entonces son los puntos medios de los arcos $AC$ y $AB$ que no contienen a $B$ y $C$, respectivamente
Como $P$ es el punto medio del arco $BC$ que contiene a $A$, luego $C\widehat JI=B\widehat JI$. Para probar las tangencias queremos ver $B\widehat IJ=I\widehat CJ$ y $J\widehat BI=J\widehat IC$, entonces queremos probar $\triangle BIJ\simeq \triangle JIC$, pero como $\triangle BIJ\simeq \triangle PID$ nos alcanza probar que $\triangle PID\simeq \triangle JIC$. Por arco capaz $B\widehat JI=P\widehat DI$ y por opuestos por el vértice $P\widehat ID=B\widehat IJ$, luego, nos alcanza probar que $J\widehat IC=I\widehat PD$, es decir, queremos probar que $PD\parallel IC$

La paralela a $EC$ por $D$ corta de nuevo a la circunferencia en $P'$, queremos ver $P'\equiv P$, para eso necesitamos ver que $P'B=P'C$, que es lo mismo que ver $P'D+DC=P'E+EB$. Como $P'D$ es paralela a $EC$ entonces $P'DCE$ es un trapecio isósceles y $DC=P'E$, luego, queremos ver que $P'D=EB=EA$ puesto que $E$ es el punto medio del arco $AB$ que no contiene a $C$. Esto a su vez es equivalente a ver $AP'\parallel DE$, que es lo mismo que ver $P'E=DA$
Tenemos $P'D\parallel CE\Rightarrow P'\widehat DE=D\widehat EC=D\widehat EA$ por ser $D$ el punto medio del arco $AC$ que no contiene a $B$, como subtienden ángulos iguales, las cuerdas $P'E$ y $DA$ son iguales
Q.E.D.
[math]

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