Iberoamericana 2010 P3

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Matías V5

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Iberoamericana 2010 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 16 Ago, 2014 2:25 pm

Sea [math] el incírculo de un triángulo escaleno [math], que es tangente a los lados [math] en los puntos [math] respectivamente. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. La circunferencia de diámetro [math] corta a [math] por segunda vez en [math]. Sean [math] y [math] los puntos de intersección (distintos de [math]) de [math] con [math] y [math], respectivamente. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math], el circuncírculo de [math] corta a [math] en [math] y el circuncírculo de [math] corta a [math] en [math].
Demostrar que [math], [math] y [math] son concurrentes.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

jujumas

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Re: Iberoamericana 2010 P3

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 09 Feb, 2017 5:49 pm

Una con varios pasos que usa algo de geometría proyectiva. Para no hacer la solución muy larga, dejo picando las trivialidades.

Solución:
Spoiler: mostrar
Figura de análisis 1: https://gyazo.com/2239bb1393c216a1e4bd2be1fa3864ac

Lema: La circunferencia de diámetro [math] es la circunferencia de Apolonio con respecto a [math], [math] y [math].
Demostración: Notemos que [math], [math] y [math] concurren por Ceva usando que [math], [math] y [math]. Llamemos [math] a el punto donde concurren y [math] al punto de intersección de [math] y [math]. Luego, [math], de donde [math] y (tomando los segmentos no dirigidos), concluímos que [math], de donde queda demostrado el Lema por el Teorema de Apolonio.


Figura de análisis 2:https://gyazo.com/0f4e0005720d8e01a9f19b57ef1c7fa1

Sabemos ahora por el teorema de Apolonio que [math], de donde [math] es bisectriz del ángulo [math] por el teorema de la bisectriz. Por semi-inscriptos, tenemos que [math] y [math]. Aplicando suma de ángulos internos llegamos a que [math] y [math] son semejantes, de donde [math], de donde [math] y [math] son paralelas. Supongamos ahora que [math] interseca a [math] en [math]. Ceva nos da que [math], por Thales, esto quiere decir que [math] es punto medio de [math]. Luego, [math] corta a [math] en su punto medio, por lo que [math] corta a [math] en su punto medio. Y acá damos paso a la segunda idea clave de la solución:


Lema 2: [math] es punto medio de [math] (análogamente, [math] es punto medio de [math]).
Demostración: Por arco capaz, [math]. Luego, pitágoras nos dice que [math]. Como [math], esto implica que [math], que por pitágoras en [math] es equivalente a [math], o que [math]. Pero por potencia de un punto [math]. Luego, [math], y como [math] no es [math], [math], de donde queda demostrado el Lema.


Luego, tenemos que [math], [math] y [math] son medianas del triángulo [math], de donde concurren en el baricentro del mismo.

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