Iberoamericana 2010 P5

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Matías V5

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Iberoamericana 2010 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 16 Ago, 2014 2:28 pm

Sea [math] un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales [math] y [math] son perpendiculares. Sean [math] el circuncentro de [math], [math] el punto de intersección de las diagonales, [math] el punto de intersección de las circunferencias circunscriptas a [math] y [math], y [math] el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de [math]. Demostrar que [math] están alineados.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Julian_Ferres

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Re: Iberoamericana 2010 P5

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Lun 02 May, 2016 1:13 am

Muy buena elección
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Ibero 2010 P5.png
Veamos primero que [math]

Para eso notamos que [math] por potencia de [math] con respecto a [math]

Luego tenemos que: [math] luego [math] tiene la misma potencia a ambas circunferencias, por lo que debe estar en su eje radical, que precisamente es [math].

Sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente, entonces por el teorema de Varignon tenemos que [math] es un paralelogramo. (De esto vamos a usar que las diagonales se bisecan)

Luego [math] es el punto medio de [math], entonces el problema se redujo a demostrar que [math] biseca a [math].

Para eso denotamos [math].

Notemos que por ser [math] el punto medio de la hipotenusa [math] entonces [math] y [math]
Analogamente [math] y concluimos que [math]

Ahora sumemos que [math] y [math] ya que son mediatrices correspondientes.

Notemos que [math] por ser angulos exteriores de los triangulos [math] y [math]

Luego por resta de angulos [math].
Esto implica [math] y [math] y por lo tanto [math] es un paralelogramo.

Finalmente las diagonales [math] y [math] se bisecan mutuamente,como queriamos demostrar. [math]
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Gianni De Rico

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Re: Iberoamericana 2010 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 25 Jun, 2018 12:08 pm

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Sean $P$ y $Q$ los puntos medios de $AB$ y $CD$, por Varignon el cuadrilátero que forman los puntos medios de los lados de un cuadrilátero es un paralelogramo, en el cual sus diagonales se bisecan, por lo que $G$ es el punto medio de $PQ$
Por potencia de un punto respecto al circuncírculo de $ABCD$ tenemos $KA\cdot KC=KB\cdot KD$, pero estas son las potencias de $K$ respecto a los ciruncírculos de $\triangle OAC$ y $\triangle OBD$, luego $K$ está en su eje radical, que es $OL$
Por Brahmagupta $KQ\perp AB$ y $KP\perp CD$, luego $K$ es el punto de Mathot de $ABCD$
Sean $X$ e $Y$ los puntos medios de $AC$ y $BD$, entonces $PX$ es base media de $BC$ en $\triangle ABC$ y $QY$ es base media de $BC$ en $\triangle BCD$. Por lo tanto $PX\parallel BC\parallel QY$ y $PX=\frac{1}{2}BC=QY$ entonces $PXQY$ es un paralelogramo y sus diagonales se bisecan, por lo que $G$ es el punto medio de $XY$. Como $K$ es el punto de Mathot de $ABCD$ entonces $O,G,K$ son colineales
Por lo tanto $O,G,K,L$ están alineados sobre la recta $OK$
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[math]

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Violeta

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Re: Iberoamericana 2010 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 17 Jul, 2018 3:55 pm

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Digamos que el circunradio de $ABCD$ es 1. Luego, si invertimos por $O$ con radio $1$, vemos que $K$ va a $L$ y $L$ va a $K$ y $O,K,L$ son colineales.

Sean $W, X, Y, Z$ los puntos medios de $AB, BC, CD, DA$, respectivamente. Sea $\angle AOW = \angle ADB = \alpha$. Ahora, en el triángulo $AOW$, $OW = \cos \alpha$.

Ahora, $\angle DOY = \angle DAC = 90 - \alpha$ y en el triángulo $DOY$, $DY = \sin (90- \alpha) = \cos \alpha$. Pero $DY=YK$, pues $Y$ es el circuncentro de $DKC$. Así que $WO = YK$ y $WK = YO$, por simetría. Entonces, $WOYK$ es un paralelogramo y $WY$ biseca a $OK$. Pero análogamente, $XOZK$ es un paralelogramo y $XZ$ biseca a $OK$. Entonces, $WY$ y $XZ$ se intersecan en el punto medio de $OK$ y $O, K, G, L$ son colineales.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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