Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Ignacio B
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Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Ignacio B » Dom 14 Sep, 2014 5:05 pm

Sea [math] un paralelogramo de lados [math], [math], [math] y [math]. Se consideran puntos [math] e [math] en los lados [math] y [math] respectivamente, tales que [math]. Demostrar que si [math] es el punto donde se cortan [math] y [math] entonces [math] pertenece a la bisectriz del ángulo [math].

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Prillo

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Prillo » Dom 14 Sep, 2014 6:35 pm

Spoiler: mostrar
Vamos a usar el reciproco del Teorema de la Bisectriz, que dice lo siguiente:
-----------------------------------------------------
Reciproco del Teorema de la Bisectriz. Sea [math] un triangulo y [math] un punto en el lado [math]. Entonces [math] es bisectriz del angulo [math] si, y solamente si, se satisface
[math]
Pueden leer acerca de este Teorema aqui.
-----------------------------------------------------
En nuestro problema, prolongamos la recta [math] hasta que corta a la recta [math] en el punto [math]. El problema equivale a demostrar que en el triagulo [math], [math] es bisectriz. Por el reciproco del Teorema de la Bisectiz, esto es lo mismo que demostrar que [math]. Entonces demostremos esto.

Como las rectas [math] y [math] son paralelas, los triangulos [math] y [math] son semejantes, por lo cual [math]. Por otra parte, como las rectas [math] y [math] son paralelas, entonces los triangulos [math] y [math] son semejantes, por lo cual [math]. Pero por hipotesis del enunciado, tenemos que [math]. Entonces, usando las relaciones que acabamos de hallar, tenemos que
[math]
que es lo que queriamos ver. Por lo tanto, [math] es bisectriz del angulo [math]. [math]

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Vladislao

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 14 Sep, 2014 11:24 pm

Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Prillo

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Prillo » Lun 15 Sep, 2014 12:47 am

Jaja, algo habia escuchado. Igual, se nota que procure ser un poco mas didactico!

wallyor
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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por wallyor » Lun 15 Sep, 2014 8:30 pm

Prolongamos el segmento AD y el segmento BY, los mismos se cortan en el punto M.
Por el teorema de la bisectriz, si AP es bisectriz de ∠MAB, entonces debe cumplirse que:
[math] = [math] , si logramos demostrar esto, queda resuelto el problema.

Demostración:
Vemos que los triángulos DMP y PXB son semejantes, ya que ∠PBX = ∠PMD y ∠PDM = ∠PXB por ser pares de ángulos alternos internos entre las paralelas BC y AM. También se puede observar que ∠MPD = ∠BPX por ser opuestos por el vértice. Entonces:
[math] = [math] (1)

Por otro lado, al ser DC // AB, podemos decir, por el teorema de Tales, que:
[math] = [math] y sabiendo (por el enunciado del problema) que DY = BX, podemos escribir:

[math] = [math] (2)
De la (1) y la (2), se puede observar que [math] es igual a [math] (1) y también es igual a [math] (2), por lo tanto:
[math] = [math] , o sea que llegamos a lo que queríamos demostrar, por lo tanto podemos asegurar que P pertenece a la bisectriz del ángulo A.
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Vladislao

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 15 Sep, 2014 9:46 pm

Otra idea que funciona es probar que [math] está a la misma distancia de [math] y [math]. Una cuenta posible para llevar esto a cabo es calcular el área de [math] de dos formas distintas.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Nowhereman » Vie 22 Jul, 2016 6:54 pm

A mi me salio con cevita
Spoiler: mostrar
Sean [math] y [math] los puntos de intersección de las rectas [math] y [math] con [math] y [math] respectivamente, y [math] el punto de interseccion de [math] con [math]

Notemos que

[math] y [math]

De esto sale que [math]

Por th. de ceva [math] Reemplazando con lo anterior nos queda que [math] donde por teorema de la bisectriz [math] sera la bisectriz del triangulo [math] o lo que es lo mismo que [math] sera la bisectriz de [math] y estamos.

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 11:07 pm

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Prolongando [math] y [math] hasta que se corten en [math], se tiene [math] por ser opuestos por el vértice y [math] por ser alternos internos entre paralelas. Por lo tanto [math].

Por ángulos entre paralelas [math], como [math], [math] y estamos por el Teorema de la Bisectriz.
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[math]

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