XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P4

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LuchoLP

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XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P4

Mensaje sin leer por LuchoLP » Mar 28 Oct, 2014 4:09 pm

La circunferencia inscrita en el triángulo [math] es tangente a los lados [math], [math], [math] en los puntos A´, B´, C´ respectivamente. Las tres rectas [math], [math], [math] se cortan en el punto [math]. Definimos [math] y [math] como los puntos de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo [math] con las rectas [math] y [math], distintos de [math] y [math]. De manera similar definimos los puntos [math], [math], [math], [math]. Demostrar que los puntos [math], [math], [math], [math], [math], [math] pertenecen a una misma circunferencia.
ACLARACIÓN La circunferencia inscrita de un triángulo es tangente a cada lado del triángulo. Su centro es el punto de intersección de las bisectrices del triángulo. La circunferencia circunscrita de un triángulo pasa por los tres vértices del triángulo. Su centro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. (7 PUNTOS)

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Gianni De Rico

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Re: XXXVI Torneo de las Ciudades Otoño 2014 NM P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 2:35 pm

Solución:
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Sean $\omega =\odot A'B'C'$, $\Gamma _A=\odot A_BA_CB'GC'$, $\Gamma _B=\odot B_AB_CC'GA'$, $\Gamma _C=\odot C_AC_BA'GB'$.
Notemos que por ser tangentes a $\omega$ tenemos $CA'=CB'$, $AB'=AC'$ y $BC'=BA'$. Luego, $CA'\cdot CC_B=\text{Pot}(C,\Gamma _C)=CB'\cdot CC_A\Rightarrow CC_B=CC_A$, y análogamente $AA_C=AA_B$, $BB_C=BB_A$; de todo esto se sigue $C_BA'=C_AB'$, $A_CB'=A_BC'$, $B_CA'=B_AC'$. Por otro lado, $AC'\cdot AB_A=\text{Pot}(A,\Gamma _B)=AG\cdot AA'=\text{Pot}(A,\Gamma _C)=AB'\cdot AC_A$, de donde $AB_A=AC_A$, por lo que $C'B_A=B'C_A$; y análogamente $A'B_C=B'A_C$, de donde $A_BC'=C'B_A=A'B_C=A'C_B=B'C_A=B'A_C$, por lo tanto $C_AA_C=A_BB_A=B_CC_B$; luego $CB_C\cdot CC_B=CA_C\cdot CC_A$, $AC_A\cdot AA_C=AB_A\cdot AA_B$, $BC_B\cdot BB_C=BA_B\cdot BB_A$. Entonces $A_BA_CC_AB_A$, $B_AB_CA_BC_B$, $C_AC_BB_CA_C$ son cíclicos; supongamos que sus circuncírculos son distintos dos a dos, entonces sus ejes radicales concurren o son paralelos, pero estos ejes radicales son $B_CC_B$, $C_AA_C$ y $A_BB_A$, es decir, $BC$, $CA$ y $AB$, que no cumplen ninguna de las condiciones pues $ABC$ es un triángulo. Luego, al menos dos de los circuncírculos deben coincidir, por lo que los puntos $C_A,C_B,A_B,A_C,B_C,B_A$ pertenecen a una misma circunferencia $\Omega$.
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[math]

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