Sea [math]ABC un triángulo, [math]B_1 el punto medio del lado [math]AB y [math]C_1 el punto medio del lado [math]AC. Sea [math]P el punto de intersección ([math]\neq A) de las circunferencias circunscritas a los triángulos [math]ABC_1 y [math]AB_1C. Sea [math]Q el punto de intersección ([math]\neq A) de la recta [math]AP y la circunferencia circunscrita al triángulo [math]AB_1C_1. Demostrar que [math]\frac{AP}{AQ} = \frac{3}{2}.
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Consideremos la inversión con centro $A$ y algún radio $r$. $AC$ se invierte sobre sí misma, con $C'$ en el punto medio de $AC'_1$. Análogamente, $AB$ se invierte sobre sí misma, con $B'$ en el punto medio de $AB'_1$. La circunferencia circunscripta de $AB_1C_1$ pasa por $A$ y se invierte a una recta que no pasa por $A$ pero pasa por $B'_1$ y $C'_1$. Análogamente, la circunferencia circunscripta a $AB_1C$ se invierte a la recta $B'_1C'$ y la circunferencia circunscripta a $AC_1B$ se invierte a la recta $C'_1B'$. Por lo tanto, el punto de intersección de las medianas $C'_1B'$ y $B'_1C$ es $P'$, y la mediana que sale del vértice $A$ intersecta a $B'_1C'_1$ en $Q'$. Por propiedad de las medianas, $\frac{AQ'}{AP'} = \frac{3}{2}$. Pero por la inversión tenemos que $\frac{AQ'}{AP'} = \frac{AP}{AQ} = \frac{3}{2}$, como queríamos demostrar.
"Though my eyes could see I still was a blind man"
Sean $\Gamma _B,\Gamma _C$ los circuncírculos de $APB$ y $APC$; $B_2,C_2$ los centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$; $B_3,C_3$ los opuestos diametrales de $A$ en $\Gamma _B,\Gamma _C$; $O$ el circuncentro de $ABC$; $M$ el punto medio de $B_3C_3$ y $\Omega$ el circuncírculo de $AB_1C_1$
Por arco capaz tenemos $\angle ABB_3=\angle ACC_3=\angle APB_3=\angle APC_3=\angle AB_1C_3=\angle AC_1B_3=90^\circ$.
Por base media $B_1B_2\parallel BB_3$ y $C_1C_2\parallel CC_3$, entonces $\angle AB_1B_2=\angle ABB_3=\angle ACC_3=\angle AC_1C_2=90^\circ$.
Por ser $O$ circuncentro y $B_1,C_1$ puntos medios resulta $\angle AB_1O=\angle AC_1O=90^\circ$.
De todos estos ángulos obtenemos que $B_1,B_2,C_3,O$ son colineales y $C_1,C_2,B_3,O$ son colineales. Como $B_2,C_2$ son centros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ y $AB_3,AC_3$ son diámetros de $\Gamma _B,\Gamma _C$ resulta que $B_2,C_2$ son los puntos medios de $AB_3,AC_3$, entonces $O$ es el baricentro de $AB_3C_3$, de modo que $A,O,M$ son colineales y $\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$. Además $\angle AB_1O=\angle AC_1O=90^\circ \implies O\in \Omega \implies \angle AQO=90^\circ =\angle APM\implies OQ\parallel MP\implies \frac{AP}{AQ}=\frac{AM}{AO}=\frac{3}{2}$.
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Vamos a suponer que $ABC$ es acutángulo (los otros dos casos son analógos.
Lema $1$:$\triangle BB_1C_1\simeq \triangle QPC_1$ y $\triangle B_1CC_1\simeq\triangle B_1QP$
Demostración: Por el lema $1$ se desprende que, $\frac {QC_1}{B_1C_1}=\frac{PQ}{B_1B} (1)$
Por arco capáz, $\angle C_1B_1Q=\angle C_1AQ=\angle CAP=\angle CB_1P \wedge \angle B_1C_1Q=\angle B_1AQ=\angle B_1AP=\angle B_1CP \Rightarrow \triangle B_1PC\simeq\triangle B_1QC_1\Rightarrow\frac{QC_1}{B_1C_1}=\frac{PC}{B_1C}(2)$
De $(1)$ y $(2)$, $\frac {PQ}{B_1A}=\frac{PC}{B_1C}$ y estamos.
Por arco capáz, $\angle CPQ=\angle CPA=\angle C_1B_1A$.Por el Lema $2$ y lo anterior, $\triangle PCQ\simeq\triangle B_1CA\Rightarrow\angle PCQ=\angle B_1C_1A\Rightarrow\angle QCA=\angle PCB_1=\angle PAB_1=\angle QAB_1=\angle B_1C_1Q (1)$.
Además, $\angle QB_1C_1=\angle QAC_1=\angle QAC
(2)$.De $(1)$ y $(2)$, $\triangle B_1C_1Q\simeq\triangle ACQ\Rightarrow\frac {AC}{AQ}=\frac {B_1C_1}{B_1Q} (*)$.
Por el Lema $1$, $\frac{B_1C_1}{B_1Q}=\frac{CC_1}{PQ} (**)$.De $(*)$ y $(**)$, $\frac {C_1C}{PQ}=\frac {AC}{AQ} $.Pero $AC=2CC_1\Rightarrow AQ=2PQ\Rightarrow \frac {AP}{AQ}=\frac {3PQ}{2PQ}=\frac {3}{2}$ y estamos.
