Rioplatense 2014 - N3 P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2016 FOFO 6 años - Jurado-FOFO 6 años OFO - Jurado-OFO 2017
OFO - Jurado-OFO 2018 OFO - Jurado-OFO 2020 OFO - Jurado-OFO 2021
Mensajes: 1118
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 8
Nivel: Exolímpico

Rioplatense 2014 - N3 P5

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Sobre el segmento $AC$ se toma un punto $B$. Se trazan las circunferencias $T_1$, $T_2$ y $T_3$ de diámetros $AB$, $BC$ y $AC$ respectivamente. Una recta que pasa por $B$ corta a $T_3$ en los puntos $P$ y $Q$, y a las circunferencias $T_1$ y $T_2$ respectivamente en $R$ y $S$. Demostrar que $PR=QS$.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
ricarlos
Mensajes: 429
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Rioplatense 2014 - N3 P5

Mensaje sin leer por ricarlos »

Spoiler: mostrar
Cuando un diametro AC (digamos que es el diametro mayor) proyecta sus extremos sobre una cuerda PQ los pies de esa proyeccion llamemosla R' y S' equidistan del punto medio de esa cuerda PQ (1)es decir PR'=QS' y es muy facil ver que como BR'C=BS'A=90 entonces pertenecen a las 2 circunferencias interiores. Asi R'=R y S'=S

(1) este es un problema de Gogeometry que ya voy a linkear
Aqui esta:
http://gogeometry.com/problem/p530_cycl ... ruence.htm
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Avatar de Usuario
Brimix

OFO - Medalla de Oro-OFO 2015 OFO - Medalla de Oro-OFO 2016 OFO - Medalla de Plata-OFO 2019 OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 OFO - Medalla de Plata-OFO 2021
OFO - Medalla de Plata-OFO 2023 OFO - Medalla de Oro-OFO 2024
Mensajes: 97
Registrado: Dom 21 Abr, 2013 10:00 am
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario♥
Contactar:

Re: Rioplatense 2014 - N3 P5

Mensaje sin leer por Brimix »

Holis, leí
Spoiler: mostrar
"proyectar"
y supe que tenia que hacer algo al respecto...
Spoiler: mostrar
Primero hacemos nuestro hermoso dibujito.
Cabe aclarar que el problema no denota el orden de [math] y [math] pero es indistinto puesto que aunque los cambiemos de lugar se conserva la igualdad: [math]
En el dibujo voy a declarar [math] como el centro de la circunferencia grande (punto medio [math] ), y [math] como el punto medio de la cuerda [math].
N3P5 OMR2014.jpg
Ahora, si trazo la perpendicular de [math] por [math] ésta será mediatriz de dicho segmento (...ea...) por lo tanto esta recta pasará por el centro de la circunferencia que contiene a [math] y [math], es decir, [math].

Creo que serán necesarios algunos datos triviales:
[math] es diámetro [math]
[math]es diámetro[math]
[math] por ser opuestos por el vértice

Ahora, por semejanza de triangulos, sabemos que:
[math]

Y además: [math] y [math]
Por tanto: [math]

Pero [math] es punto medio de [math] y además...
[math]
[math]

Luego, como [math] es punto medio [math] hacemos lo mismo que antes.
[math] y [math]
Por tanto: [math]

Y por último:
[math]
[math]
[math]

Fin.


Y aunque me avergüence, en un principio en lugar de [math] usé [math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫Nuestro ARG2 es nuestro ejemplo. 'Efe de equis mas one!'♫♪
Avatar de Usuario
Joacoini

OFO - Medalla de Plata-OFO 2018 FOFO 8 años - Medalla Especial-FOFO 8 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Medalla Especial-FOFO 9 años
OFO - Medalla de Oro-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Copa-FOFO Pascua 2020 FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años
OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años
OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 466
Registrado: Jue 12 Oct, 2017 10:17 pm
Medallas: 16
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Ciudad Gotica

Re: Rioplatense 2014 - N3 P5

Mensaje sin leer por Joacoini »

Spoiler: mostrar
$Q\widehat CS=90-C\widehat QS=90-C\widehat QP=90-C\widehat AP=90-(180-A\widehat PC-P\widehat CA)=P\widehat CA=P\widehat QA$

Análogamente $P\widehat AR=C\widehat PQ=C\widehat AQ$.

Si $BT$ es la altura de $ABQ$, los triángulos $ABT$ y $APR$ son semejantes y también los triángulos $CQS$ y $QBT$, por lo que tenemos que

$\frac{AP}{AB}=\frac{PR}{BT}$ y $\frac{QC}{QB}=\frac{SQ}{BT}$

Pero como los triángulos $PAB$ y $CQB$ son semejantes

$\frac{AP}{AB}=\frac{QC}{QB}\Rightarrow \frac{PR}{BT}=\frac{SQ}{BT}\Rightarrow PR=SQ$
NO HAY ANÁLISIS.
Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial-FOFO 7 años OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo OFO - Jurado-OFO 2020
FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años
OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022 FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años
OFO - Jurado-OFO 2023 FOFO 13 años - Jurado-FOFO 13 años OFO - Jurado-OFO 2024 FOFO Pascua 2024 - Jurado-FOFO Pascua 2024
Mensajes: 2265
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 19
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Rioplatense 2014 - N3 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Sin marcar puntos nuevos
Spoiler: mostrar
IMG_20230524_150352.jpg
Los ángulos rojos de la figura valen $x$, los azules valen $y$, los verdes valen $90^\circ -x$ y los violetas valen $90^\circ -y$. Entonces $APR\simeq PCS$ y $QAR\simeq CQS$, por lo que $\frac{PR}{RA}=\frac{CS}{SP}$ y $\frac{RA}{RQ}=\frac{QS}{CS}$, de donde$$\frac{PR}{RQ}=\frac{PR}{RA}\frac{RA}{RQ}=\frac{CS}{SP}\frac{QS}{CS}=\frac{QS}{SP},$$y así $R$ y $S$ son simétricos respecto del punto medio de $PQ$, de modo que $PR=QS$.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
Responder