OFO 2015 Problema 8

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cogo

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OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por cogo » Sab 31 Ene, 2015 9:56 pm

Dado un triángulo [math] denominamos, respectivamente, [math] y [math] a los puntos de intersección de la bisectriz de [math] con la circunferencia circunscripta [math] de [math] y con el lado [math]. Sea [math] una circunferencia que pasa por los puntos [math] y [math]. Llamamos [math] y [math] a los puntos de intersección de [math] con la recta [math] y con la circunferencia [math], respectivamente ([math],[math]). Demostrar que [math], [math] y [math] están alineados.

cogo

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Re: OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por cogo » Dom 08 Feb, 2015 7:53 pm

Solución Oficial
Spoiler: mostrar
Sin pérdida de generalidad, supongamos que el punto [math] se encuentra en el mismo semiplano que [math] respecto de [math].

Separemos la solución en dos casos, de acuerdo a la ubicación del punto [math] en el segmento [math] o en su prolongación.

Caso [math]: [math] se encuentra sobre el segmento [math].
Configuración 1 Problema 8 OFO.png
En este caso, para probar que los puntos [math], [math] y [math] están alineados vamos a mostrar que [math]. Esto es suficiente ya que [math] y [math] pertenecen al mismo semiplano respecto de [math].
En primer lugar, como [math] es cíclico sus ángulos opuestos suman [math] de donde [math]. A su vez, por ser ángulo exterior al triángulo [math] obtenemos [math] por lo que [math]. [math]
En segundo lugar, como [math] es cíclico tenemos [math] que se puede escribir como [math]. Por arco capaz con la cuerda [math] en [math] se tiene [math]. De esta forma [math]. [math]
De [math] y [math] sigue que[math] estando entonces alineados los puntos [math], [math] y [math].

Caso [math]: [math] se encuentra en la prolongación del segmento [math].
Configuración 2 Problema 8 OFO.png
En este caso, para demostrar que los puntos [math], [math] y [math] están sobre una misma recta vamos a mostrar que [math]. Lo haremos verificando que [math].
Veamos primero que por arco capaz con la cuerda [math] en [math], [math]. Además, por arco capaz con la cuerda [math] en [math], [math] y por arco capaz con la cuerda [math] en la misma circunferencia [math]. De esta manera [math] por suma de los ángulos interiores del triángulo [math].
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Dauphineg

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Re: OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por Dauphineg » Dom 08 Feb, 2015 9:07 pm

Otra sción.
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3,14

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Re: OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 08 Feb, 2015 9:14 pm

Mi solución:
Spoiler: mostrar
Llamemos al punto de intersección de [math] y el lado [math] o su prolongación, como [math]. Llamemos al punto de intersección de [math] y [math] como [math].
Observemos que los ángulos [math] y [math] son inscriptos en [math], y que abarcan el mismo arco ([math]). Por lo tanto, son iguales:
[math].
Por otro lado, observemos que el cuadrilátero [math] es cíclico porque está inscripto en [math]. Por lo tanto:
[math] (los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios).
Por otro lado, el cuadrilátero [math] también es cíclico porque está inscripto en [math]. Por lo tanto:
[math]
De las dos últimas expresiones se puede observar que:
[math]
De esto se deduce que [math], ya que [math] resulta ser correspondiente con [math].

Ahora demostraremos el siguiente lema:
Si un trapecio es circunscribible (es decir, es cíclico), entonces necesariamente es un trapecio isósceles.

Demostración
Consideremos el trapecio cíclico [math], con [math] y lados [math], [math], [math] y [math].
Por ángulos conjugados internos:
[math]
Por otro lado, como [math] y [math] son opuestos, y el trapecio es cíclico, entonces:
[math]
Entonces sale que [math], y resulta que el trapecio es isósceles.

Observemos entonces que el cuadrilátero [math] es un trapecio (porque [math], como vimos antes). Por otro lado, [math] es ciclico porque está inscripto en [math]. Entonces, por el lema que demostramos, [math] es un trapecio isósceles, y resulta que [math]. En consecuencia, los ángulos [math] y [math] están abarcando arcos iguales (porque las cuerdas que abarcan son [math] y [math], que dijimos que eran iguales). Entonces, [math]. Pero como [math] es bisectriz de [math], entonces [math]. Por otro lado, ya habíamos dicho que [math]. Entonces:
[math]
[math]
[math]

Por otro lado, por ángulos inscriptos en la circunferencia [math]:
[math].
Entonces resulta que [math]. Como estos ángulos son iguales, y comparten uno de sus lados (la semirrecta [math]) entonces también deben coincidir en el otro, por lo que los segmentos [math] y [math] están superpuestos, de lo que se deduce que [math], [math], y [math] están alineados (son colineales), como queríamos demostrar.
Ahora que lo pienso, me olvide de analizar unos casos... :(
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[math]

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MateoCV

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Re: OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por MateoCV » Dom 30 Oct, 2016 7:02 pm

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Asumamos sin pérdida de generalidad que [math] está en el arco [math] con [math]. Sea [math] la intesección de [math] y [math]. Vamos a demostrar que [math] es cíclico y sabremos que [math]. Como [math] y [math] tenemos que [math] (o [math] en caso de estar [math] en la prolongación de [math])
Luego [math] es cícilico como queríamos ver
1  
$2^{82589933}-1$ es primo

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Gianni De Rico

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Re: OFO 2015 Problema 8

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 23 Ago, 2019 9:47 pm

Solución:
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Sea $G'$ el segundo punto de intersección de $DF$ con $\Gamma$, como $F\not \equiv P$, entonces $G'\not \equiv A$. Por ser $D$ el pie de la bisectriz de $A$ sobre $\Gamma$, tenemos que $DB=DC$.
Consideremos la inversión de centro $D$ y radio $DB=DC$. Claramente, $B$ y $C$ quedan fijos, y como $B,C,D$ no son colineales, tenemos que esta inversión manda $BC$ a $\Gamma$, luego, manda $P$ a $A$ y manda $F$ a $G'$, entonces $DP\cdot DA={DB}^2={DF\cdot DG}'$, por lo que ${A,P,F,G}'$ son concíclicos, y como $G'\not \equiv A$, tenemos ${G\equiv G}'$, por lo que $D,F,G$ están alineados.
[math]

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