Problema 1 EGMO 2015

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Fran5

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Problema 1 EGMO 2015

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 16 Abr, 2015 10:43 am

Sea [math] un triángulo acutángulo, y sea [math] el pie de la altura trazada desde [math]. La bisectriz de [math] intersecta a [math] en [math] y vuelve a intersectar al circuncírculo [math] de [math] en [math].
Si [math], mostrar que [math] es tangente a [math].
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Emerson Soriano

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Re: Problema 1 EGMO 2015

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 16 Abr, 2015 7:12 pm

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Es fácil observar que [math] es bisectriz del ángulo recto [math] y que el cuadrilátero [math] es cíclico, pues sus vértices están en la circunferencia [math], por lo tanto [math], y por ende [math]. Otra consecuencia de que [math] sea cíclico, es que [math]. Note que [math], por lo tanto, [math]. Sea [math] el punto de corte de las rectas [math] y [math]. Notemos que el triángulo [math] es isósceles, puesto que la bisectriz [math] también es altura en ese triángulo, por lo tanto [math] es triángulo rectángulo isósceles, en consecuencia [math] y [math], quiere decir que [math], y por ende [math], por lo tanto, [math] y [math] son puntos de la mediatriz de [math], en consecuencia, [math] es perpendicular a [math] en el punto [math]. Luego, [math] es triángulo rectángulo isósceles, por lo tanto [math], y esto es suficiente para que [math] sea tangente a la circunferencia [math].

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Fran5

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Re: Problema 1 EGMO 2015

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 16 Abr, 2015 7:43 pm

Otra parecida
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Llamamos también [math] al punto de intersección de [math] con [math]

Por angulitos [math] (pues [math] es rectángulo e isósceles). Luego, [math] es tangente sii [math]

Ahora, como [math] está en la mediatriz de [math] (pues es [math] es isósceles al ser [math] altura y bisectriz), se tiene que [math], o lo que es lo mismo, [math]

Ahora, [math], con lo cual [math] es isósceles y en particular [math] es mediatriz de [math], y el problema sigue
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Gianni De Rico

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Re: Problema 1 EGMO 2015

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Mar, 2020 2:09 pm

Sin marcar puntos nuevos

Solución:
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Sea $\angle CBE+\angle EBD=\beta$, notemos que $DF$ es bisectriz de $\angle CDA$, de donde es bisectriz exterior de $\angle BDC$, luego, $F$ es el $B$-excentro de $BCD$, de donde $\angle DFC=90°-\beta$. Por otro lado$$45°=\angle FDA=\angle DFB+\angle FBD=\angle DFB+\beta$$de donde $\angle DFB=45°-\beta$, luego$$\angle EFC=90°-\beta -(45°-\beta )=45°=\angle EDF$$por lo que $CF$ es tangente a $\omega$.
Queda Elegantemente Demostrado

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