Regional 1998 N3 P3

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Hechicero

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Regional 1998 N3 P3

Mensaje sin leer por Hechicero » Mié 30 Sep, 2015 2:03 pm

En una circunferencia se consideran cuatro puntos distintos, [math], [math], [math], [math], tales que [math] es diámetro, y se traza la recta tangente por [math].
Sean [math] el punto de intersección de la recta [math] con la tangente y [math] el punto de intersección de la recta [math] con la tangente.
Si [math]; [math] y [math], calcular la medida del segmento [math].
No poder demostrar algo, pero saber que se cumple, es estar condenado a una vida de mediocres ideas.

Peznerd
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Re: Regional 1998 N3 P3

Mensaje sin leer por Peznerd » Sab 09 Nov, 2019 2:38 am

Hermoso problema. No puedo creer que no había estado resuelto.

Solución (medio a las apuradas porque sigo estudiando):
Spoiler: mostrar
Sin pérdida de generalidad (por simetría con respecto a $AD$) colocamos los puntos $B$ y $C$ en el mismo semiplano que la recta $AD$ determina.

$AP=AB+BP=46,08+3,92=50$.

Por Potencia de un Punto: $BP*AB=DP^2=3,92*46,08 = 180,6336\Rightarrow DP = \sqrt{180,6336}=13,44$.

Como $P$ es un punto distinto a $D$ (de lo contrario $BP$ valdría $0$) en la tangente que pasa por $D$, entonces $\angle ADP$ es recto. Por lo tanto, por Seno Coseno Tangente en el triángulo $APD$ sacás que $\angle APD \approx74,407° \Rightarrow \angle DAP \approx 15,593° \Rightarrow AD \approx 48,16$.

$AD$ es diámetro de la circunferencia. Luego, por Arco Capaz $\angle ACD$ es recto. Por Seno Coseno Tangente en el triángulo $ACD$ sacás que $\angle DAC \approx 53,2727°$. Además, fijémonos que $\angle DAC = \angle DAQ$.

Por última vez, hacemos Seno Coseno Tangente en el triángulo $ADQ$ aprovechando que $\angle ADQ$ es recto e igual a $\angle ADP$. Sacamos que $AQ \approx 80,534$.

Como $CQ=AQ-AC$ y conocemos $AQ$ y $AC$, hacemos $CQ \approx 80,534 - 28,8 \approx 51,734$.
Un resultado horrible para un problema tan bello. Pero supongo es lo que tiene tener una calculadora malarda y tener que aproximar.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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