Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

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Ivan

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Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Ivan » Vie 01 Abr, 2011 10:32 pm

Sea [math] un triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda [math] es la bisectriz del ángulo [math] del triangulo [math] y corta al lado [math] en [math]; la cuerda [math] es perpendicular al lado [math] y lo corta en [math]. Si [math], calcular [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Vladislao

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 02 Abr, 2011 1:03 pm

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Cono 2011.PNG
Notemos que por el Teorema de la bisectriz, de la condición del enunciado [math], se desprende que [math].

Sea P el punto medio del lado AC. El triángulo [math] es isósceles. En particular, [math].

Sea Q la intersección de [math] con el segmento [math]. Notemos, por arco capaz que [math] y que [math], de esto se sigue que [math] es bisectriz del ángulo [math] como [math] yacía en el segmento [math], entonces el triángulo [math] tiene la bisectriz del ángulo [math] perpendicular al lado QC, por lo que se tiene que M equidista de Q y de C. Notemos que en este triángulo se tiene que [math]. Entonces los triángulos [math] y [math] son semejantes.

Ahora, prolonguemos el segmento [math] hasta que corte a la circunferencia en [math], se tiene que [math]. Pero esto implica que las rectas [math] y [math] sean paralelas. Absurdo, pues se cortan en B por definición. Entonces [math] y [math]. Entonces es inmediato concluir que [math] y que [math] entonces [math]
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Caro - V3

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Sab 02 Abr, 2011 2:59 pm

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Solución alternativa:
P3 SelCono2011.png
Sea [math] el punto medio de [math]

Por Teorema de la bisectrz: [math]
[math]
[math] mediatriz de [math] (porque es la bisectriz de [math]).

[math]

Además, como [math], tenemos [math].
Entonces [math], y el triángulo [math] es isósceles, así que la recta [math] (perpendicular a [math]) es la mediatriz de [math].

Por lo tanto, [math]

[math]

Finalmente, [math].
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

elcolectivero
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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por elcolectivero » Vie 04 Abr, 2014 7:05 pm

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Disculpen que no sepa texear:
Hice lo mismo que dijeron arriba, solo que demostre de otra forma que K, P(punto medio de AC) y B son colineales.

Notemos que si son colineales, por arco capaz el angulo KBC= KDC.
Llamo s a la interseccion entre AD y BK
DAC=BAD por enunciado, luego el angulo BAD=DCB por arco capaz. Por suma de angulos interiores en amd y abs, el angulo ABS= ADK. Por opuestos por el vertice, ALB=CLD. Basicamente, los triangulos ABL y CLD son semejantes, por ende los angulos KDC y KBC son iguales. Y entonces son colineales y sale viendo que el triangulo KPM es congruente con KPC

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Joacoini

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 02 Ene, 2018 4:09 pm

Una solución completamente diferente.
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Como $AL$ es birectriz del angulo $\angle BAC$, $\angle LAC=\angle BAL$
Por arco capaz $\angle DCB=\angle DAB=\angle DBC=\angle DAC$, de esto sale que $\triangle BCD$ es isósceles con $\overline{DC}=\overline{DB}$
Notar que el $\triangle DCL$ es semejante al $\triangle CDA$ ya que $\angle CDA$ es igual para los dos triangulos y $\angle DCL=\angle DAC$.
Trazamos la perpendicular a $\overline{BC}$ por $D$ y a la intersección la llamamos $N$, gracias a la semejanza $\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}$.
Como $\triangle BCD$ es isósceles $N$ es el punto medio de $\overline{BC}$
Por el enunciado $BL=\frac{BC}{3}$ y $LC=\frac{2BC}{3}$
$NL=BN-BL=\frac{BC}{2}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{6}$
$\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}=\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{BC}{6}}=3$
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 20 Jul, 2018 1:50 am

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Por el Teorema de la Bisectriz, $\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AC$. Sea $N=AC\cap BK$, como $AD$ es bisectriz de $B\widehat AC$ entonces $D$ es el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ (ni a $K$) y por lo tanto $KD$ es bisectriz de $B\widehat KC$, o lo que es lo mismo, $KM$ es bisectriz de $N\widehat KC$. Luego, $KM$ es bisectriz y altura desde $K\Rightarrow \triangle KNC$ es isósceles con $KN=KC$ y $K\widehat NC=K\widehat CN$. Por opuestos por el vértice y arco capaz tenemos $A\widehat NB=K\widehat NC=K\widehat CN=N\widehat BA$ y $\triangle ABN$ es isósceles con $AN=AB=\frac{1}{2}AC\Rightarrow CN=\frac{1}{2}AC$. Como $\triangle KNC$ es isósceles, $M$ es punto medio de $CN\Rightarrow MC=\frac{1}{2}CN=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}AC\Rightarrow AM=AC-\frac{1}{4}AC=\frac{3}{4}AC$
Finalmente $\frac{AM}{MC}=$$\frac{\frac{3}{4}AC}{\frac{1}{4}AC}$$=3$
[math]

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