Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

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Ivan

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Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Ivan »

Sea [math] un triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda [math] es la bisectriz del ángulo [math] del triangulo [math] y corta al lado [math] en [math]; la cuerda [math] es perpendicular al lado [math] y lo corta en [math]. Si [math], calcular [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Vladislao

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao »

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Cono 2011.PNG
Notemos que por el Teorema de la bisectriz, de la condición del enunciado [math], se desprende que [math].

Sea P el punto medio del lado AC. El triángulo [math] es isósceles. En particular, [math].

Sea Q la intersección de [math] con el segmento [math]. Notemos, por arco capaz que [math] y que [math], de esto se sigue que [math] es bisectriz del ángulo [math] como [math] yacía en el segmento [math], entonces el triángulo [math] tiene la bisectriz del ángulo [math] perpendicular al lado QC, por lo que se tiene que M equidista de Q y de C. Notemos que en este triángulo se tiene que [math]. Entonces los triángulos [math] y [math] son semejantes.

Ahora, prolonguemos el segmento [math] hasta que corte a la circunferencia en [math], se tiene que [math]. Pero esto implica que las rectas [math] y [math] sean paralelas. Absurdo, pues se cortan en B por definición. Entonces [math] y [math]. Entonces es inmediato concluir que [math] y que [math] entonces [math]
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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Caro - V3

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Caro - V3 »

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Solución alternativa:
P3 SelCono2011.png
Sea [math] el punto medio de [math]

Por Teorema de la bisectrz: [math]
[math]
[math] mediatriz de [math] (porque es la bisectriz de [math]).

[math]

Además, como [math], tenemos [math].
Entonces [math], y el triángulo [math] es isósceles, así que la recta [math] (perpendicular a [math]) es la mediatriz de [math].

Por lo tanto, [math]

[math]

Finalmente, [math].
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Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
elcolectivero
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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por elcolectivero »

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Disculpen que no sepa texear:
Hice lo mismo que dijeron arriba, solo que demostre de otra forma que K, P(punto medio de AC) y B son colineales.

Notemos que si son colineales, por arco capaz el angulo KBC= KDC.
Llamo s a la interseccion entre AD y BK
DAC=BAD por enunciado, luego el angulo BAD=DCB por arco capaz. Por suma de angulos interiores en amd y abs, el angulo ABS= ADK. Por opuestos por el vertice, ALB=CLD. Basicamente, los triangulos ABL y CLD son semejantes, por ende los angulos KDC y KBC son iguales. Y entonces son colineales y sale viendo que el triangulo KPM es congruente con KPC
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Joacoini

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Joacoini »

Una solución completamente diferente.
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Como $AL$ es birectriz del angulo $\angle BAC$, $\angle LAC=\angle BAL$
Por arco capaz $\angle DCB=\angle DAB=\angle DBC=\angle DAC$, de esto sale que $\triangle BCD$ es isósceles con $\overline{DC}=\overline{DB}$
Notar que el $\triangle DCL$ es semejante al $\triangle CDA$ ya que $\angle CDA$ es igual para los dos triangulos y $\angle DCL=\angle DAC$.
Trazamos la perpendicular a $\overline{BC}$ por $D$ y a la intersección la llamamos $N$, gracias a la semejanza $\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}$.
Como $\triangle BCD$ es isósceles $N$ es el punto medio de $\overline{BC}$
Por el enunciado $BL=\frac{BC}{3}$ y $LC=\frac{2BC}{3}$
$NL=BN-BL=\frac{BC}{2}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{6}$
$\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}=\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{BC}{6}}=3$
NO HAY ANÁLISIS.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo cono sur 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Por el Teorema de la Bisectriz tenemos que $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{1}{2}$, es decir que $AB=\dfrac{AC}{2}$. Sea $N$ el punto medio de $AC$, entonces $AN=\dfrac{AC}{2}=AB$. Como $\angle BAD=\angle CAD=\angle NAD$ al ser $AD$ bisectriz, $AB=AN$ y $AD=AD$, tenemos que los triángulos $BAD$ y $NAD$ tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes, de modo que son congruentes, lo que implica que $DN=DB$. Como $DB=DC$, tenemos que $DN=DC$, y como $DM\perp CN$, nos queda que $M$ es el punto medio de $CN$. Digamos que $CM=x$, entonces $CN=2x$, así que $AN=2x$, con lo que $AM=3x$. Entonces $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{3x}{x}=3$.
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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