Sea [math]ABC un triángulo y consideramos su circunferencia circunscrita. La cuerda [math]AD es la bisectriz del ángulo [math]A del triangulo [math]ABC y corta al lado [math]BC en [math]L; la cuerda [math]DK es perpendicular al lado [math]AC y lo corta en [math]M. Si [math]\frac{BL}{LC} =\frac{1}{2}, calcular [math]\frac{AM}{MC}.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Notemos que por el Teorema de la bisectriz, de la condición del enunciado [math]\frac{BL}{LC}=\frac{1}{2}, se desprende que [math]2AB = AC.
Sea P el punto medio del lado AC. El triángulo [math]\triangle ABP es isósceles. En particular, [math]\angle ABP = \angle APB = 90º-\angle LAP=90º-\angle DAC.
Sea Q la intersección de [math]\overline{BK} con el segmento [math]AC. Notemos, por arco capaz que [math]\angle DKC = \angle DAC y que [math]\angle BKD = \angle BAD, de esto se sigue que [math]\overline{KD} es bisectriz del ángulo [math]\angle BKC como [math]Q yacía en el segmento [math]BK, entonces el triángulo [math]\triangle QKC tiene la bisectriz del ángulo [math]\angle QKC perpendicular al lado QC, por lo que se tiene que M equidista de Q y de C. Notemos que en este triángulo se tiene que [math]\angle KQC = \angle QCK = 90º - \angle MQC = 90º - \angle DKC = 90º- \angle DAC. Entonces los triángulos [math]\triangle QKC y [math]\triangle ABP son semejantes.
Ahora, prolonguemos el segmento [math]BP hasta que corte a la circunferencia en [math]K', se tiene que [math]\angle K'PC = \angle BPA = \angle KQC. Pero esto implica que las rectas [math]PK' y [math]QK sean paralelas. Absurdo, pues se cortan en B por definición. Entonces [math]Q = P y [math]K' = K. Entonces es inmediato concluir que [math]2 MC = CQ y que [math]2CQ = 4MC = AC entonces [math]\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{\frac{3AC}{4}}{\frac{AC}{4}}=3
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Sea [math]\theta = 1,3063778838... Para todo entero positivo [math]k se cumple que [math]\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor es un número primo.
Por Teorema de la bisectrz: [math]\frac{1}{2} = \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} [math]2AB = AC = 2AP [math]AB = AP \rightarrow AD mediatriz de [math]BP (porque es la bisectriz de [math]\angle BAP).
[math]D \in AD \rightarrow PD = BD
Además, como [math]\angle BAD = \angle DAC, tenemos [math]BD = CD.
Entonces [math]PD = CD, y el triángulo [math]PDC es isósceles, así que la recta [math]DM (perpendicular a [math]PC) es la mediatriz de [math]PC.
Por lo tanto, [math]MC = PM = \frac{PC}{2} = \frac{\frac{AC}{2}}{2} = \frac{AC}{4}
Disculpen que no sepa texear:
Hice lo mismo que dijeron arriba, solo que demostre de otra forma que K, P(punto medio de AC) y B son colineales.
Notemos que si son colineales, por arco capaz el angulo KBC= KDC.
Llamo s a la interseccion entre AD y BK
DAC=BAD por enunciado, luego el angulo BAD=DCB por arco capaz. Por suma de angulos interiores en amd y abs, el angulo ABS= ADK. Por opuestos por el vertice, ALB=CLD. Basicamente, los triangulos ABL y CLD son semejantes, por ende los angulos KDC y KBC son iguales. Y entonces son colineales y sale viendo que el triangulo KPM es congruente con KPC
Como $AL$ es birectriz del angulo $\angle BAC$, $\angle LAC=\angle BAL$
Por arco capaz $\angle DCB=\angle DAB=\angle DBC=\angle DAC$, de esto sale que $\triangle BCD$ es isósceles con $\overline{DC}=\overline{DB}$
Notar que el $\triangle DCL$ es semejante al $\triangle CDA$ ya que $\angle CDA$ es igual para los dos triangulos y $\angle DCL=\angle DAC$.
Trazamos la perpendicular a $\overline{BC}$ por $D$ y a la intersección la llamamos $N$, gracias a la semejanza $\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}$.
Como $\triangle BCD$ es isósceles $N$ es el punto medio de $\overline{BC}$
Por el enunciado $BL=\frac{BC}{3}$ y $LC=\frac{2BC}{3}$
$NL=BN-BL=\frac{BC}{2}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{6}$
$\frac{AM}{MC}=\frac{CN}{NL}=\frac{\frac{BC}{2}}{\frac{BC}{6}}=3$
Por el Teorema de la Bisectriz tenemos que $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{1}{2}$, es decir que $AB=\dfrac{AC}{2}$. Sea $N$ el punto medio de $AC$, entonces $AN=\dfrac{AC}{2}=AB$. Como $\angle BAD=\angle CAD=\angle NAD$ al ser $AD$ bisectriz, $AB=AN$ y $AD=AD$, tenemos que los triángulos $BAD$ y $NAD$ tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes, de modo que son congruentes, lo que implica que $DN=DB$. Como $DB=DC$, tenemos que $DN=DC$, y como $DM\perp CN$, nos queda que $M$ es el punto medio de $CN$. Digamos que $CM=x$, entonces $CN=2x$, así que $AN=2x$, con lo que $AM=3x$. Entonces $\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{3x}{x}=3$.