Sea [math]ABCD un trapecio isósceles tal que [math]AB es paralelo a [math]CD (los lados no paralelos son [math]BC y [math]DA). Se sabe que [math]AB=16 y [math]AD=BC=8. Además [math]M es el punto medio de [math]AB y [math]DM=CM=5. Calcular la medida de [math]CD.
No me pareció para nada dificil este problema. Creo que era más complicado el de geometría del nivel 2 y hasta el del nivel 1. Con semejanza salia en 1 minuto.
Los triangulos [math]ADM y [math]MCB eran congruentes porque sus lados median lo mismo: dos lados median [math]8 y el otro media [math]5 (criterio de congruencia lado-lado- lado). Entonces sus angulos eran congruentes [math]ADM=AMD=MCB=BMC=x (angulos opuestos a los lados que median [math]8) y [math]MAD=MBC=180-2x (angulos opuestos a los lados que median [math]5). Luego el triangulo [math]DMC es isosceles con [math]DM=CM=5 y el angulo que forman [math]DM y [math]CM es [math]180-2x.
Aplicando el teorema del coseno en el triangulo [math]ADM:
Sea [math]H El pie de la altura de [math]AB por [math]C, Entonces por pitagoras [math]BH^2+CH^2=8^2=64 y [math]CH^2+MH^2=5^2=25 Restando nos queda [math]BH^2-MH^2=64-25=39\Rightarrow (BH+MH)(BH-MH)=39, puesto a que [math]M es el punto medio del segmento [math]AB que mide 16 entonces [math]BM=(BH+MH)=8, Reemplazando en la formula anterior, [math]8(BH-MH)=39\Rightarrow BH-MH=\frac{39}{8} Sumando [math]BH+MH se tiene que [math]2BH=\frac{39}{8}+8. Como tenemos un trapecio isosceles el segmento [math]CD=16-2BH=16-\frac{39}{8}-8=8-\frac{39}{8}=\frac{25}{8} que era lo que buscábamos.
Sea [math]X en [math]AB tal que [math]CX es altura del triángulo [math]MBC.
Por Pitágoras en [math]MXC: [math]MX^2 + CX^2 = CM^2 = 25
Por Pitágoras en [math]XBC: [math]XB^2 + CX^2 = BC^2 = 64 [math]= (MB - MX)^2 + CX^2 = MB^2 - 2 \times MB \times MX + MX^2 + CX^2 [math]= 64 - 16MX + MX^2 + CX^2 = 64 - 16MX + 25
Por lo tanto: [math]25 = 16MX [math]MX = \frac{25}{16}
Análogamente, sea [math]Y en [math]AB tal que [math]DY es altura del triángulo [math]MAD. Se puede ver fácilmente que también [math]MY = \frac{25}{16}.
Como todos sus ángulos son rectos, [math]XCDY es un rectángulo.
Luego, [math]CD = XY = MX + MY = \frac{25}{8} = 3.125
Guía de [math]\LaTeX: sirve para escribir ecuaciones como [math]\frac{11}{8}+ x \lfloor \pi \rfloor = 1
Como M es punto medio MB = 8 = CB.
Ahora hagamos angulitos:
Sea b = MBC
Sea a = BMC = MCB
Esto mismo se va a replicar en el triangulo ADM, de lo que sacamos que AMD = a, entonces DMC = b por Angulo llano = 180°.
Teniendo esto concluimos por suma de ángulos interiores que MDC = a = MCD, y por lo tanto el triangulo MDC es semejante al triangulo MBC.
