El triángulo equilátero [math]ABC de lado [math]1 se dividió en dos partes de áreas iguales mediante un segmento [math]DE paralelo a [math]AB, con [math]D en [math]AC y [math]E en [math]BC, y también se dividió en dos partes de áreas iguales mediante un segmento [math]GF paralelo a [math]BC, con [math]G en [math]AB y [math]F en [math]AC.
Calcular la medida del segmento [math]DF.
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Sea [math]DF=a y [math]AD=FC=b. Entonces [math]a+2b=1.
Notamos que [math]DEC y [math]AFG son triangulos equilateros con un area de [math]\frac{\sqrt{3}}{8}. Hay una formula conocida que dice que el area de un triangulo equilatero es [math]\frac{\sqrt{3}s^2}{4}, con [math]s la medida del lado del triangulo. Resolviendo esto en los triangulos [math]DEC y [math]AFG, se tiene que [math]a+b=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Ahora veamos:
[math]2a+2b = \sqrt{2} \Rightarrow a + (a+2b) = \sqrt{2} \Rightarrow a = \sqrt{2} -1
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Para comenzar, notamos que al trazar $\overline{FG}$, al igual que cuando se traza $\overline{DE}$, se forman dos triángulos semejantes a ABC. Ahora bien, sabemos que la razón entre sus áreas es de $\frac{1}{2}$ (considerando a AFG y a DCE con respecto a ABC). Luego, la razón entre sus lados es $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Dado que FG y DE son equidistantes de sus lados correspondientes paralelos (de no ser así, tendrían diferentes áreas entre ellos), vemos que $\overline{BE}$ = $\overline{AD}$ = $\overline{BG}$ = $\overline{CF}$ = 1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$, que es el lado de ABC menos el lado de los triángulos semejantes.
Finalmente, $\overline{AD}$ + $\overline{CF}$ + $\overline{DF}$ = 1
Es decir, (1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$) + (1 - $\frac{1}{\sqrt{2}}$) + $\overline{DF}$ = 1 $\Rightarrow$ $\overline{DF}$ = $\sqrt{2}$ - 1
Vemos que por paralelas $ABC$, $CDE$ y $AGF$ son semejantes. Y, por tener la misma área, resultan $CDE=AGF$. Por esto mismo, y por ser ambos equilateros, resultan $AD=FC$, por lo que $DF=AC-2AD$.
Ahora sabemos, por pitágoras, que la altura del triángulo $ABC$ mide $\frac{\sqrt{3}}{2}$, por lo que el área del $ABC$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}$. Sabemos que si el lado del $CDE$ mide $l$, su altura medirá $\frac{\sqrt{3}}{2}l$, por lo que su área, que también es la mitad del área del $ABC$ será $$\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=\frac{\sqrt{3}}{8}\Rightarrow l=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Podemos ver que resulta $AD=1-l=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
Por lo que
$$DF=1-2\times \frac{2-\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-1$$
