23º APMO 2011 - Problema 3

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ésta

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23º APMO 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por ésta » Mié 18 May, 2011 8:29 pm

Sea [math] un triángulo tal que [math]. Las bisectrices internas y externas de [math] cortan a la recta [math] en [math] y [math], respectivamente. Las bisectrices internas y externas de [math] cortan a la recta [math] en [math] y [math], respectivamente. Supongamos que los circulos con diámetro [math] y [math] se cortan en el punto [math] interior al triángulo [math]. Demostrar que [math].
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Azul Lihuen

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Re: 23º APMO 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Azul Lihuen » Sab 02 Mar, 2013 2:29 am

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Bueno, vamos a usar esto: http://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f=6&t=729 (*)

Como los puntos [math] , [math] y [math] cumplen que [math], la circunferencia que pase por estos tres puntos es el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math], por (*). Y lo mismo pasa con los puntos [math], [math] y [math].

Tenemos entonces que [math] tiene las siguientes propiedades:

a) [math]
b) [math]

Acomodando lo anterior obtenemos que

c)[math]

Llamemos [math] a la intersección de la bisectriz de [math] con [math].

Por a) , b) y c), y usando el teorema de la bisectriz, tenemos que [math] es la bisectriz de [math], y lo mismo pasa con [math], [math], y [math], [math], respectivamente.

Supongamos que: [math] y que [math].

Si [math], tenemos que [math] y [math]. Como [math] y [math] son cuadriláteros cíclicos, [math] y [math]

Entonces juntando todo:
i)[math]
ii)[math]

Por lo tanto, sumando i)+ii), obtenemos:
[math]
Y finalmente [math] y [math], como queríamos.
1  
♥ ^ [math]

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Gianni De Rico

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Re: 23º APMO 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 04 Sep, 2018 5:28 pm

Spoiler: mostrar
Las circunferencias de diámetros $B_1B_2$ y $C_1C_2$ son las Circunferencias de Apolonio de $B$ respecto a $CA$ y de $C$ respecto a $AB$. Como $P$ es la intersección de ellas en el interior del triángulo, entonces $P$ es el conjugado isogonal del Punto de Fermat de $ABC$.
Sea $F$ el Punto de Fermat de $ABC$, luego, $\angle CBF+\angle BCF=60°\Rightarrow \angle ABF+\angle ACF=\angle ABC+\angle ACB-\angle CBF-\angle BCF=180°-\angle BAC-60°=120°-\angle BAC$. Como $P$ y $F$ son conjugados isogonales tenemos $\angle CBP=\angle ABF$ y $\angle BCP=\angle ACF$, por lo tanto $\angle BPC=180°-\angle CBP-\angle BCP=180°-(120°-\angle BAC)=60°+\angle BAC$. Este es el resultado general, en este problema $\angle BAC=30°$, por lo tanto queda demostrado que $\angle BPC=90°$.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: 23º APMO 2011 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 04 Sep, 2018 5:30 pm

.
Última edición por Gianni De Rico el Jue 06 Sep, 2018 10:23 pm, editado 2 veces en total.
[math]

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