OFO 2017 Problema 12

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

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OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por tuvie » Sab 14 Ene, 2017 7:59 pm

Sean [math] un triángulo acutángulo y [math] su circuncírculo. Las alturas [math] y [math] se cortan en [math]. Sean [math] el punto medio de [math] y [math] el punto de intersección de las tangentes a [math] por [math] y [math]. La recta [math] corta a las rectas [math] y [math] en los puntos [math] y [math] respectivamente. La semirrecta [math] corta a [math] en [math].
Demostrar que el circuncírculo del triángulo [math] y [math] son tangentes en el punto [math].

tuvie

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 22 Ene, 2017 12:17 am

Solución Oficial
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La solucion va a consistir en dos partes.

Parte 1: Probar que [math] cae en el circuncirculo de [math]

Notemos que la reflexion de [math] por [math] es [math] el opuesto diametral de [math] en [math]. Tambien el reflejo de [math] por [math] es [math] , punto sobre [math]. Ademas [math], y [math]. Entonces por potencia en [math], [math] y por potencia de un punto, [math] es ciclico. Notemos que [math] es ciclico, por lo que [math] y por semi-inscriptos, [math], por lo que [math] y [math]. Como [math] es el centro de [math], [math], y ademas por angulo central, al ser [math], tenemos que [math]. Entonces [math] es ciclico y entonces [math] es ciclico. Sigue que [math] por semi inscriptos. Analogamente [math] y entonces [math]. Como [math], sigue que [math] es ciclico.

Parte 2: Probar que [math] es tangente al circuncirculo de [math].

Por la Parte 1, [math] y [math]. Entonces [math] es la mediatriz de de [math], por lo que [math] es la bisectriz de [math], por lo que [math] es bisectriz de [math]. Analogamente [math] es bisectriz de [math] y sigue que [math] es el incentro de [math]. Voy a utilizar el siguiente hecho conocido:

"Sea [math] un triangulo, [math] su incentro, y [math] la circunferencia tangente internamente a [math], [math] y a la circunscripta de [math] en [math], [math], y [math]. Entonces [math] es punto medio de de [math] y este segmento es perpendicular a [math]."


(Comentario: Esta circunferencia se la conoce como el incirculo mixtilineo correspondiente al punto [math] en el triangulo [math].)

Notemos entonces la relacion con el problema. [math] es [math], [math] es [math], [math] es [math], [math] es [math], [math] es [math], [math] es [math], por lo que la circunferencia tangente a [math] en [math] y a [math] en [math] es tangente a la circunscripta de [math], pero esta es [math].

Entonces probamos que [math] pertenece a ambas circunferencias y que estas son tangentes, por lo que son tangentes en [math] y estamos.
Para mas informacion con respecto a esa circunferencia http://www.mit.edu/~evanchen/handouts/M ... Guessr.pdf
Última edición por tuvie el Dom 22 Ene, 2017 12:31 pm, editado 1 vez en total.

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MateoCV

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por MateoCV » Dom 22 Ene, 2017 12:22 am

Solo angulitos
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Sea [math] el pie de la altura desde [math]. Definamos [math] y [math] (eso ocurre por ser [math] y [math] cíclicos), Luego como [math] por tangencias tenemos que [math] y [math]. Sea [math] la reflexión de [math] por [math], es conocido que [math] cae en la circunscrita y además que [math] es diámetro de dicha circunferencia. Luego [math]. Como [math] también es recto, luego [math] es cíclico y como [math] es cíclico tenemos que [math] es cíclico. Luego como [math] entonces [math] y como [math] luego [math] es cíclico. Como [math] por tangencias [math] y como [math] es cíclico tenemos que [math] y [math], luego por ángulos interiores en [math], [math] y análogamente [math]. Como en un triángulo rectángulo la mediana correspondiente al punto medio de hipotenusa es igual a medio lado, entonces [math] y [math] y como [math] era cíclico [math], y luego [math] y como [math] tenemos que [math] es cíclico pero como [math] era cíclico luego [math] es cíclico. Realizando un procedimiento análogo se obtiene que [math] es cíclico. Como [math] es cíclico, [math] y [math] y al ser [math] cíclico [math] y análogamente [math] de donde [math] y como teníamos que [math] tenemos que [math] es cíclico. Ahora si demostramos que la circunferencia que pasa por esos puntos es tangente a [math] en [math] habremos resuelto el problema. Para ver esto vamos a ver que la tangente a [math] por [math] es tangente al circuncírculo de [math] (que es el mismo que el de [math]) Sea [math] Sea [math] un punto en la tangente a [math] por [math] del lado tal que [math] como [math] era cíclico [math] y [math]. Como teníamos que [math] y que [math] luego [math] y por ángulos interiores en [math] [math]. Luego quedaría ver que [math] para probar que el circuncírculo de [math] es tangente a [math] pero usando que [math] y que [math] resulta que [math] y como [math] finalmente [math] como queríamos ver
$2^{82589933}-1$ es primo

jujumas

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por jujumas » Dom 22 Ene, 2017 12:39 am

Solo angu... Nah, mentira.

Solución innecesariamente extensa:
Spoiler: mostrar
Figura de análisis 1: https://gyazo.com/1f52bb182f304205e790d6ddedd00e33

Notación: [math], [math], [math],

Lema 1: [math] es incentro de [math].

Demostración: Por ser [math] y [math] tangentes al circuncírculo de [math], [math]. Luego, [math], y como [math] es cíclico, al tener [math], tenemos que [math]. Luego, [math] es isósceles. Análogamente, [math] también lo es. Luego, la mediatriz de [math] coincide con la bisectriz de [math], al igual que la bisectriz de [math] y la mediatriz de [math]. Lo mismo sucede con el triángulo [math]. Luego, el incentro de [math] coincide con la intersección de estas mediatrices, que es el centro de la circunferencia circunscrita al cíclico [math], que es [math] por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo.


Figura de análisis 2: https://gyazo.com/01fd1a916c8d244b2b4bc9fadb05f533

Consideremos ahora una circunferencia [math] internamente tangente a [math] en [math], [math] en [math] y a la circunferencia circunscrita de [math] en [math]. Vamos a ver unas propiedades de esta circunferencia antes de entrar en detalles de su relación con el problema. Para esto, consideraremos las segundas intersecciones de [math] y [math] con [math], a las que las llamaremos [math] y [math].

Lema 2: [math] y [math] son puntos medios de los arcos [math] y [math] respectivamente.

Demostración: Basta con demostrar que [math]. Notemos por cíclicos, que esto se traduce a demotrar que [math], o que los triángulos [math] y [math] son semejantes. Tomando la segunda intersección de [math] y [math], a la que la llamaremos [math], tenemos que [math] (la última por semi-inscriptos). Notemos entonces que una homotecia centro [math] que lleva [math] al circuncírculo de [math], lleva a [math] a [math] y a [math] a [math], por lo que [math] y [math] son semejantes, por lo que [math], de donde [math] y [math] son semejantes. Luego, [math] es punto medio del arco [math]. Análogamente, [math] es punto medio del arco [math].


Figura de análisis 3: https://gyazo.com/121b500a2b54d6c6e1041e2ce84157a4

Lema 3: Sea [math] el incentro de [math], [math] es punto medio de [math].

Demostración: Usamos el Teorema de Pascal con los segmentos [math], [math], [math], [math], [math] y [math]. Dado que por el Lema [math] tenemos que [math] y [math] se intersecan en el incentro de [math], tenemos que [math], [math] y [math] son colineales, y dado que [math], [math] es isósceles, la bisectriz de [math] corta a [math] en su punto medio, de donde [math] debe ser punto medio de [math].


Lema 4: La circunferencia circunscrita a [math] es tangente a la circunferencia circunscrita a [math]

Demostración: Notemos ahora que [math] por el Lema [math], y porque el incentro de un triángulo es único. Notemos además que [math] define completamente a [math] y [math], ya que son la intersección de la perpendicular a [math] por [math] con [math] y [math] respectivamente. Luego, el hecho de que [math] implica que [math] y [math]. Notemos además que la circunferencia tangente a la semirrecta [math] en [math] y a la semirrecta [math] en [math] es única, al igual que la circunferencia tangente a [math] en [math] y a [math] en [math]. Luego, la circunferencia circunscrita a [math] es [math], por lo que es tangente al circuncírculo de [math].


Entonces, nos queda demostrar solamente que el punto de tangencia, [math] y [math] son colineales, ya que la intersección de la semirrecta [math] y la circunscrita a [math] es única, al igual que el punto [math]. Notemos que en el problema original, además, [math] y [math] son las intersecciones de la circunferencia de diametro [math] con [math], y [math] no es más que la intersección de [math] y [math]. Luego, con todo lo que hicimos hasta ahora, podemos reformular todo el problema de la siguiente manera.

Figura de análisis 4: https://gyazo.com/643b4c2533969ef90601df8e4eb41c60

Problema equivalente: Sea [math]. Sea [math] una circunferencia tangente a [math] y a [math], e interiormente tangente al circuncírculo de [math] en [math], la circunferencia de diámetro [math] corta a [math] en los puntos [math] y [math], con [math] entre [math] y [math]. Sea [math] la intersección de [math] y [math], demostrar que [math], [math] y el punto medio de [math] son colineales.


Por el Lema [math], el punto medio de [math] es el incentro [math] de [math]. Vamos ahora a continuar probando un último Lema en la configuración:

Figura de análisis 5: https://gyazo.com/d30ded40a5b722f2d3ced8ae6fdf2372

Lema 5: Los puntos [math], [math], [math], [math] y [math] son concíclicos (al igual que [math], [math], [math], [math] [math]).

Demostración: Empecemos probando que [math] es cíclico.
Tomando el punto [math] con la misma definición que antes, tenemos que [math], pero [math], de donde [math], por lo que [math] es cíclico.
Para probar que [math] es cíclico, tomamos los puntos de contacto del incírculo con [math] y [math]. Llamemos [math] e [math] respectivamente a estos puntos. Luego, como [math] e [math] son triángulos rectángulos con mismo cateto y misma hipotenusa, [math], ya que son semejantes, y como, por tangencias [math], tenemos que [math] Luego, como [math], [math] es un romboide, por lo que [math] y [math] son perpendiculares. Además, dado que [math] es diámetro de la circunscrita a [math], [math] y [math] son perpendiculares. Luego, [math] y [math] son paralelas, de donde [math]. Con esto, tenemos que [math] es un pentágono cíclico. Razonando simétricamente para los otros puntos, por los mismos argumentos tenemos que [math] también es un pentágono cíclico, demostrando el Lema.


Volver a figura de análisis 4

Notemos entonces que el hecho de que [math] caiga en [math] implica que [math] esté en el eje radical de las circunferencias circunscritas a [math] y [math]. Luego, basta con demostrar que [math] tiene igual potencia respecto a ambas circunferencias. Pero como [math] es cíclico y sus diagonales se cortan en [math], tenemos por potencia de un punto que [math], y como [math] es la potencia de [math] respecto a la circunferencia [math], y [math] es la potencia de [math] respecto a la circunferencia [math], al ser estas potencias iguales, tenemos que [math], [math] y [math] son colineales, concluyendo el enunciado.

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3,14

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por 3,14 » Dom 22 Ene, 2017 1:44 am

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12) Sean [math], [math], [math] los ángulos [math], [math] y [math] respectivamente. Vamos a definir algunos nuevos puntos:
Sea [math] el segundo punto de intersección de [math] con [math]. Sea [math] el punto de intersección de la recta [math] con el circuncírculo de [math].
A continuación, vamos a probar varias propiedades que surgen de la figura, para finalmente llegar a la demostración:

1- [math] es paralelogramo.
Supongamos que no es así, y sea el punto [math] tal que [math] sea paralelogramo. En ese caso, [math] se encuentra sobre [math], ya que [math] es diagonal, y [math] la corta en su punto medio, de modo que [math] también debe ser diagonal. Pero notemos que [math] es cíclico (dos ángulos opuestos iguales a [math]), por lo que [math]. Por ser paralelogramo [math], resulta que sus ángulos opuestos son iguales, y [math]. Pero como [math] pertenece a [math], [math] es cíclico, y [math]. Como dijimos que [math] y [math] están sobre una misma recta, y ninguno de ellos es [math] (el segundo punto que cumple [math] sobre la recta [math]), entonces [math], con lo que demostramos lo que queríamos.

2- Los triángulos [math], [math], [math] son isosceles en [math], [math] y [math] respectivamente. [math] es el incentro de [math].
Por ángulo por tangente en [math], vemos que [math]. Además, como [math] es el punto medio de la hipotenusa de [math] y [math], [math], y por lo tanto, hay una circunferencia de centro [math] que pasa por [math]. Entonces [math] es cíclico, y por ángulos inscriptos: [math]. Entonces [math]. Por lo tanto, [math] es isosceles en [math]. Las demostración para [math] es análoga.
El triángulo [math] es isósceles, porque [math] por ser tangentes desde [math] a [math].
Tracemos ahora la perpendicular desde [math] a [math] (llamémosla [math]), y desde [math] a [math] (llamémosla [math]). El pie de [math] sobre [math] es el punto medio de [math] (por Thales, ya que [math] es paralela a [math], por ser [math] altura). Por otro lado, [math] es también bisectriz de [math], por ser el triángulo [math] isósceles. El pie de [math] sobre [math] es el punto medio de [math], ya que [math] es altura y mediatriz. Entonces [math] y [math] son perpendiculares a [math] y pasan ambas por el punto medio de [math], por lo tanto, son la misma recta. Significa que [math], el punto medio de [math], y [math] están alineados, y en consecuencia, [math] es bisectriz de [math]. Análogamente se deduce que [math] es bisectriz de [math]. Por lo tanto, [math] es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de [math] y se deduce que es su incentro.

3- Los puntos [math] son concíclicos.
Notemos que [math]. Por ser [math] paralelogramo, [math], y por ángulos alternos internos: [math]. Por arco capaz en [math], resulta que [math].
Es conocido que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. Por lo tanto, [math], [math] es isósceles en [math], y [math]. Por lo tanto, [math], de lo que se deduce que [math] son concínclicos.
Sabemos por ángulo por una tangente, y porque [math] es cíclico, que [math], y por lo tanto, [math]. Por otro lado, dijimos antes que [math] es isóceles, con [math]. Por lo tanto, [math]. Entonces, el cuadrilátero [math] tiene dos ángulos opuestos que suman [math] ([math] y [math]). Por lo tanto, [math] son concínclicos.
Por lo tanto, [math] son concínclicos.
En la gráfica, la circunferencia que los contiene es de color rojo-rosado. La llamaremos [math].

4- [math] son concínclicos.
La demostración es completamente análoga a la anterior. El circuncírculo de estos cinco puntos es de color amarillo en la gráfica, y lo llamaremos [math].

5- [math] pertenece al circuncírculo de [math].
Notemos que por ángulo por una tangente en [math], [math]. Viendo el cuadrilátero [math], que es cíclico por estar inscripto en [math], deducimos que:
[math].
En forma completamente análoga, empleando [math], se puede deducir que [math]. Por lo tanto, [math].
Por ángulos por tangentes a [math], [math], y [math]. Por lo tanto, el cuadrilátero [math] tiene dos ángulos opuestos que suman [math], y es cíclico, por lo que [math] pertenece al circuncírculo de [math].

6- [math] es tangente a [math], y [math] es paralela a [math].
Notemos que como [math] es el incentro de [math], entonces [math] es bisectriz de [math], y como [math] es isósceles, entonces [math] también es mediatriz. Como [math] es punto medio de la hipotenusa en [math], entonces [math]. Como dijimos que [math] es mediatriz de [math], es perpendicular a este segmento, y [math]. Pero [math]. De esto se deduce que [math], y [math] es tangente a [math].
Ahora, [math] (demostración análoga a la de [math]). Por ángulos inscriptos en [math]: [math].
Por otro lado, [math] por ángulo por tangente, y [math]. Por ser [math] bisectriz, [math], y resulta que [math]. De esto se deduce que [math].

7- [math], [math], [math] son colineales.
Por ángulos inscriptos en el circuncírculo de [math], [math]. Notar que [math], y por ángulos inscriptos en [math], vemos que [math]. Entonces [math]. Pero habíamos dicho que [math]. Por lo tanto, [math] son colineales.

8- Finalmente llegamos! [math] y el circuncírculo de [math] son tangentes.
Tracemos la tangente a [math] por [math], que pasa por un punto [math]. Tracemos la tangente al circuncírculo de [math] por [math], que pasa por [math]. Vamos a demostrar que ambas tangentes son iguales, de donde se deduce que las dos circunferencias son tangentes a una misma recta en un mismo punto, con lo cual habríamos demostrado que ambas son tangentes entre sí.
Por ángulos por una tangente en [math]: [math]. Mirando el circuncírculo de [math]: [math], y por ángulos inscriptos en [math]: [math]. Por lo tanto, [math]. Por lo tanto, [math] y [math] se encuentran sobre la misma recta, y se deduce que ambas tangentes son las mismas, con lo que demostramos lo pedido. [math]

Aclaración: Originalmente, mi objetivo era demostrar el problema con inversión. La circunferencia de inversión es la circunferencia de centro [math] que pasa por [math], [math], [math] (es conocido que esta circunferencia efectivamente pasa por esos tres puntos). Con esta circunferencia de inversión, el circuncírculo de [math] se invierte en la recta tangente a [math], [math], y [math] se invierte en sí misma. Sin embargo, para completar la demostración por inversión, debía demostrar que [math] y la circunferencia de inversión son ortogonales, lo que no pude hacer. Así que el problema lo terminé de una forma más clásica.
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[math]

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davisbeckam18

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por davisbeckam18 » Dom 22 Ene, 2017 1:54 am

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Como ya sabemos que [math] pertenece a [math], probaremos que [math] pertenece al circuncírculo del triángulo [math], que sería análogo a probar que el cuadrilátero [math] es cíclico.

[math] Completamos ángulos. (Archivo 1). Notemos que los cuadriláteros [math] y [math] son cíclicos.

[math] Probemos que el cuadrilátero [math] es cíclico. (Archivo 2)

[math] Debido a que [math] es cíclico tenemos que [math] [math] [math] es cíclico [math] [math]

[math] El cuadrilátero [math] es cíclico. Es decir [math] pertenece al circuncírculo del triángulo [math]. Pero por lo antes mencionado, [math] también pertenece al circuncírculo del triángulo [math]. Concluimos entonces que [math] son concíclicos y por lo tanto [math] es cíclico.

[math] De forma similar se prueba que [math] es cíclico. (Igual se deja la demostración debajo).
Spoiler: mostrar
[math] Como [math] es cíclico, entonces [math] pertenece al circuncírculo del triángulo [math]. Pero por lo antes mencionado, [math] también pertenece al circuncírculo del triángulo [math]. Concluimos entonces que [math] son concíclicos y por lo tanto [math] es cíclico.
Spoiler: mostrar
[math] [math] [math] [math] [math] [math]

[math] [math] [math] [math] [math] [math]

[math] En el cuadrilátero [math] [math]

[math] El cuadrilátero [math] es cíclico. (Archivo 3)

Ahora, trazemos la recta tangente a [math] por [math]. Faltaría probar que el circuncírculo de [math] es tangente a dicha recta, que sería análogo a probar que [math] ([math] un punto sobre la recta tangente tal que la semirrecta [math] intersecta a la recta [math]) [math]

[math] Completamos ángulos con las demostraciones que tenemos.(Archivo 4)

[math] [math] y [math] ([math] son concíclicos)

[math] [math] es el incentro del triángulo [math]. [math] [math]

[math] Finalmente: [math].
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Última edición por davisbeckam18 el Jue 23 Feb, 2017 12:23 am, editado 1 vez en total.

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por julianferres_ » Jue 26 Ene, 2017 1:36 am

A puro cíclicos y angulitos:
Spoiler: mostrar
Para empezar demostraremos que [math] pertenece a la circunferecia de [math]. Sea [math] la otra intersección de la recta [math] con [math], luego es conocido que [math] es diametro(por las propiedades de la reflexion del ortocentro por el punto medio de los lados). Esto nos dice que [math] y estamos.

Lo siguiente sera probar que [math] son conciclicos, y analogamente [math] tambien.

Notemos que [math] (uso arco capaz en [math] y alturas), luego [math] son conciclicos. Para incluir a [math] en dicha circunferencia hacemos lo siguiente: [math] por semi-inscritos y [math] esto es op. por el verice y usar que [math] es ciclico. Luego [math]. Ademas tenemos que [math] usando que [math] es ciclico. Finalmente [math] usando el ciclico [math] y que [math] es punto medio de la hipotenusa de [math]. Luego [math] y estamos.

Analogamente se prueba que [math] son conciclicos (ya que las construcciones de los puntos [math] y [math] son analogas).

Una vez que tenemos esto, vamos a probar que el cuadrilatero [math] es ciclico. Para eso voy a probar que [math]

Sabemos que [math] por semi-inscritos, luego [math] y hay que probar que [math].

Notemos que [math] (Uso que [math]). Por ende queda probar que [math]
Pero usando los ciclicos: [math] y [math].
Finalmente [math] y estamos.

Sea [math] la tangente a [math] por [math], entonces tenemos que
[math]

Entonces [math] lo que implica que [math] y por semi-inscritos el problema queda resuelto.

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Gianni De Rico

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Re: OFO 2017 Problema 12

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 27 Ago, 2019 3:15 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ en $ABC$ y $H_1$ el simétrico de $H$ por $M$.
Tenemos que $T,M,H_1$ son colineales, y por las reflexiones del ortocentro, tenemos que $H_1$ es el opuesto diametral de $A$ en $\omega$, luego, $\angle MTA=\angle H_1TA=90°=\angle MDA$, de donde $MDTA$ es cíclico. Como $AD\perp BC$, $BE\perp CA$ y $CF\perp AB$, tenemos que $BCEF$ y $ABDE$ son cíclicos, de donde $HT\cdot HM=\text{Pot}(H,\odot MDTA)=HA\cdot HD=\text{Pot}(H,\odot ABDE)=HB\cdot HE=\text{Pot}(H,\odot BCEF)=HC\cdot HF$, por lo que $MCTF$ es cíclico. Ahora, como $QB$ es tangente a $\omega$ y $BCEF$ es cíclico, tenemos que $\angle QBF=\angle QBA=\angle BCA=\angle EFA=\angle QFB$, de donde $QB=QF$, y como $MB=MF$ por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, tenemos que $QM$ es bisectriz de $\angle BQF$, es decir, $QM$ es bisectriz de $\angle PQR$; análogamente, $RM$ es bisectriz de $\angle QRP$, de donde $M$ es el incentro de $PQR$. Además, tenemos que $MQ$ es bisectriz de $\angle BMF$, luego, $\angle QMT=\angle QMF+\angle FMT=\frac{1}{2}\angle BMF+\angle FCT=\frac{1}{2}2\angle MCF+\angle FCT=\angle MCF+\angle FCT=\angle BCF+\angle FCT=\angle BCT=\angle BQT$, de donde $BMTQ$ es cíclico. Análogamente, $CMTR$ es cíclico.

Consideremos la inversión por $\odot BCEF$, y sea $X'$ el inverso de $X$ para todo punto $X$ del plano, como $MH\cdot MT=MH_1\cdot MT=\text{Pot}(M,\omega)=MB\cdot MC=MB^2$, tenemos que $H$ y $T$ son inversos. Entonces $B,Q',H$ son colineales y $C,R',H$ son colineales. Como $M$ es el incentro de $PQR$, tenemos que $M$ es el ortocentro de $P'Q'R'$, de donde $P'Q'\perp MR'\parallel MR\perp CE$, por lo que $P'Q'\parallel CE$, y análogamente $P'R'\parallel BF$, luego, $MQ'\perp P'R'\parallel BF\perp CH$, por lo que $MQ'\parallel CH$, y como $M$ es punto medio de $BC$, tenemos que $Q'$ es punto medio de $BH$; análogamente, $R'$ es punto medio de $CH$. Luego, $MQ'R'$ es el triángulo medial de $BCH$, por lo que $H$ es el reflejo de $M$ por el punto medio de $Q'R'$, y como $M$ es el ortocentro de $P'Q'R'$, tenemos que $P'Q'HR'$ es cíclico.
Sea $G$ un punto en el mismo semiplano que $Q'$ respecto a $MH$ tal que $GH$ es tangente a $\odot P'Q'R'$, luego $\angle GHQ'=\angle HR'Q'=\angle HCB$, por lo que $GH$ es tangente a $\odot BHC$. Entonces $\odot P'Q'R'$ y $\odot BHC$ son tangentes en $H$. Como invertir preserva tangencias, $\odot PQR$ y $\odot BTC$ son tangentes en $T$, es decir, el circuncírculo de $PQR$ y $\omega$ son tangentes en $T$
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