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Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Lun 30 Ene, 2017 1:38 am
por Dauphineg
En el triángulo [math], [math], [math]. Sobre el lado [math] se marca el punto [math] de modo tal que [math] y sobre el lado [math] se marca el punto [math] tal que [math] sea paralela a [math].
Calcular las medidas de los ángulos [math] y [math].

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Lun 30 Ene, 2017 3:54 pm
por 3,14
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Haciendo angulitos, podemos deducir que [math] y que, si [math] es un punto en la prolongación de [math] tal que [math], [math]. Por lo tanto, [math] y [math] son bisectrices exteriores del triángulo [math]. Por lo tanto, [math] es un excentro de [math] y [math] es bisectriz del ángulo [math]. Por lo tanto, [math]

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Mar 31 Ene, 2017 8:10 pm
por Monazo
Otra forma de resolverlo
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Calculamos el ángulo DCB que es igual a 42. Como el ángulo B es también 42, entonces el triángulo DCB es isósceles con DC=DB. Por alternos internos, el ángulo CDK es igual a 42 y despejando, el ángulo CKD=69. Como CKD=KCD=69, entonces el triángulo KDC también es isósceles con DK=DC. Finalmente, DK=DC=DB, por lo tanto D es centro y los lados DK, DC y DB son radios (notar que D es el circuncentro del triángulo KBC). Por ángulo central, CDK=2.CBK y como dijimos que CDK=42 entonces CBK=21 y ABK=21.

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Sab 02 Nov, 2019 9:40 pm
por Peznerd
3,14 escribió:
Lun 30 Ene, 2017 3:54 pm
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Haciendo angulitos, podemos deducir que $\angle CDK=\angle KDA=42°$ y que, si $H$ es un punto en la prolongación de $CB$ tal que $HC<HB$, $\angle HCK=\angle KCD=69°$. Por lo tanto, $CK$ y $DK$ son bisectrices exteriores del triángulo $CDB$. Por lo tanto, $K$ es un excentro de $CDB$ y $BK$ es bisectriz del ángulo $\angle CBD$. Por lo tanto, $\angle CBK=42°/2=21°=\angle ABK$
¿Qué es el excentro?
¿Qué es bisectriz exterior?
Imagino que bisectriz exterior es la bisectriz del ángulo opuesto por el vértice

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Sab 02 Nov, 2019 9:48 pm
por Peznerd
Monazo escribió:
Mar 31 Ene, 2017 8:10 pm
Otra forma de resolverlo
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Calculamos el ángulo DCB que es igual a 42. Como el ángulo B es también 42, entonces el triángulo DCB es isósceles con DC=DB. Por alternos internos, el ángulo CDK es igual a 42 y despejando, el ángulo CKD=69. Como CKD=KCD=69, entonces el triángulo KDC también es isósceles con DK=DC. Finalmente, DK=DC=DB, por lo tanto D es centro y los lados DK, DC y DB son radios (notar que D es el circuncentro del triángulo KBC). Por ángulo central, CDK=2.CBK y como dijimos que CDK=42 entonces CBK=21 y ABK=21.
¿Cómo inferiste que $D$ es circuncentro?

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Dom 03 Nov, 2019 2:06 pm
por Fran5
Peznerd escribió:
Sab 02 Nov, 2019 9:40 pm
3,14 escribió:
Lun 30 Ene, 2017 3:54 pm
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Haciendo angulitos, podemos deducir que $\angle CDK=\angle KDA=42°$ y que, si $H$ es un punto en la prolongación de $CB$ tal que $HC<HB$, $\angle HCK=\angle KCD=69°$. Por lo tanto, $CK$ y $DK$ son bisectrices exteriores del triángulo $CDB$. Por lo tanto, $K$ es un excentro de $CDB$ y $BK$ es bisectriz del ángulo $\angle CBD$. Por lo tanto, $\angle CBK=42°/2=21°=\angle ABK$
¿Qué es el excentro?
¿Qué es bisectriz exterior?
Imagino que bisectriz exterior es la bisectriz del ángulo opuesto por el vértice

Tomate un triangulo $ABC$. La bisectriz exterior del ángulo $A$ es la bisectriz del ángulo adyacente a $\angle BAC$.
En particular es perpendicular a la bisectriz (interior) de $\angle A$

El excentro $I_A$, consecuentemente, es el Punto de intersección de dos bisectrices exteriores. Como está afuera está en el lado opuesto respecto a algún lado de $ABC$.
Por ejemplo, Si lo tomás del otro lado respecto al lado $BC$, $I_A$ es la intersección de las bisectrices exteriores de $B$ y $C$, y también pasa por allí la bisectiz interior de $A$

Re: Nacional 1994 Nivel 1 (P2)

Publicado: Dom 03 Nov, 2019 3:50 pm
por Peznerd
Duda resuelta. Gracias.