Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
tuvie

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Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 31 Mar, 2017 9:11 pm

En una circunferencia de diámetro $AB$ se elige un punto $M$. En la misma circunferencia sea $X$ tal que la intersección de $MX$ y $AB$ es el punto $Y$, con $M\hat{Y}B<90^{\circ}$. La cuerda perpendicular a $AB$ que pasa por $Y$ corta a $BX$ en $P$. Demostrar que al variar $X$ el punto $P$ pertenece siempre a una misma recta

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Fran5

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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Sab 01 Abr, 2017 11:49 am

Spoiler: mostrar
Sean [math] el simétrico de [math] respecto de [math] y [math] la intersección de [math] con [math].

Sea [math] el ortocentro del triángulo [math]. Claramente [math] pertenece a la recta (segmento) [math]

Queremos ver que [math] para que [math] esté sobre la recta [math]

Ahora, [math]

Con lo cual [math] es un cuadrilátero cíclico.

De esto se sigue que [math] es el pie de la perpendicular desde [math] hasta [math].

Luego [math] y el problema sigue
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fran2109
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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por fran2109 » Dom 02 Abr, 2017 9:59 pm

Hola para los ex olimpicos que estuvieron en la correccion del cono sur dia 1 usaron un programa de geometría muy bueno me podrían dar un link de donde conseguirlo o aunque sea el nombre
Desde ya muchas gracias

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Matías V5

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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Dom 02 Abr, 2017 10:11 pm

fran2109 escribió:Hola para los ex olimpicos que estuvieron en la correccion del cono sur dia 1 usaron un programa de geometría muy bueno me podrían dar un link de donde conseguirlo o aunque sea el nombre
Desde ya muchas gracias
Hola! Me re olvidé de decirlo ese día, el programa se llama Geogebra, es gratis y se puede descargar de acá: https://www.geogebra.org/download
Saludos!
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Monazo

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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por Monazo » Mié 16 Ene, 2019 2:14 am

Spoiler: mostrar
Captura de pantalla 2019-01-16 a la(s) 02.17.52.png
Para demostrar que $P$ siempre pertenece a la misma recta, demostraremos que $B\hat AP$ es invariante cuando varía $X$.
Llamamos $M\hat A B=\alpha$. Notemos que $\alpha$ no varía dado que $B$ y $M$ son puntos ya fijos. Por arco capaz, $M\hat X B=\alpha$. Dado que $A\hat Y P=90º$ (por enunciado), y $B\hat X A=P\hat X A=90º$ ($AB$ diámetro y $X$ pertenece a la circunferencia), entonces el cuadrilátero $AYPX$ es cíclico ($A\hat Y P+ P\hat X B = 180º$). Por último, por arco capaz, $M\hat X B=B\hat A P=\alpha$. Como dijimos que $\alpha$ es invariante, entonces $P$ siempre pertenecerá a la misma recta.
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Re: Selectivo de Cono Sur 2017 P3

Mensaje sin leer por Ale.p » Sab 11 Ene, 2020 11:34 pm

En este problema podemos observar que si demostramos que el angulo BAP no cambia al variar x, el problema esta resuelto.
Se sabe que el punto Y se va a mover sobre el diametro AB,y el punto P por la cuerda perpendicular a AB.
Despues tenemos que por arco capaz el angulo BXM no va a cambiar. Y como AB es diametro, el angulo BXA va a ser siempre 90° (por estar en una semicircunferencia).
Entonces ahora me fijo en el cuadrilatero YPXA: es ciclico ya que el angulo AYP= al angulo AXB =90°. Por eso cuando variemos X por la circunferencia PYAX seguira siendo ciclico.
Finalmente como dijimos que el angulo MXB no varia y es igual al angulo PAY ( por arco capaz ), el angulo BAP no semodificara al variar X.

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