Zonal 2017 N3 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 29 Jun, 2017 6:21 pm

Sean [math] un cuadrado de lado [math] y [math] el punto medio del lado [math]. Se traza la circunferencia que pasa por [math], [math] y [math]. Calcular la longitud del radio de la circunferencia.
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Monazo

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Monazo » Jue 29 Jun, 2017 7:05 pm

Este problema es muy parecido al problema de Geometría que se tomo en el Zonal de 2014, salen con la misma idea. Voy a comentar la solución más sencilla que encontré. Sin embargo hay más soluciones que por falta de tiempo después las publico.

Solucion 1
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Si conocemos la formulita mágica:

Área triángulo= [math]

Donde a, b y c son los lados del triángulo y r su circunradio. Con Pitágoras se puede obtener que los lados [math]
Notar que el triángulo [math] es isósceles y su altura [math]. Por lo tanto [math]

Una vez que obtuvimos el área despejamos [math]


[math]

[math]

Finalmente despejando obtenemos:

[math]

Esta solución usa una formulita no muy primordial para un zonal. Encontré soluciones que salían planteando sistemas de ecuaciones con Pitágoras, otra solución con trigonometría, y otra más utilizando geometría analítica (una solución fea pero sale si uno ubica los vértices del triángulos en un eje cartesiano y obtiene la expresión de la circunferencia que pasa por esos 3 puntos obteniendo el radio).
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bruno
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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por bruno » Jue 29 Jun, 2017 7:42 pm

Bueno si repiten exactamente el mismo problema, uso exactamente el mismo metodo ?
Spoiler: mostrar
Considero sistema de ejes cartesianos con origen en [math] de modo que:

[math]
[math]
[math]

Como tengo [math] puntos solo existe una unica circunferencia que pase por los [math]. La obtengo reemplazando los puntos en la ecuacion general de una circunferencia

[math]

1) Reemplazo [math]

[math]

2)Reemplazo [math]

[math]

3) Reemplazo [math]

[math]

Reemplazando 1) en 2) y 3)

2)[math]
3)[math]

Entonces [math] y [math]

Por lo tanto
[math]
[math]
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Emerson Soriano

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 29 Jun, 2017 8:15 pm

Otra forma.
Spoiler: mostrar
Sean [math] el pie de la [math]altura del triángulo [math] y [math] el inradio. Notemos que el circuncentro [math] del triángulo [math] está sobre el segmento [math]. Luego, en el triángulo rectángulo [math] tenemos que [math], [math] y [math], luego, por Pitágoras, tenemos que [math].
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Fran2001

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Fran2001 » Jue 29 Jun, 2017 8:39 pm

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[math]
Por Pitágoras [math]
Por Teorema del Seno [math]
Última edición por Fran2001 el Vie 18 Ago, 2017 7:59 pm, editado 1 vez en total.
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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por FaC7oR » Jue 29 Jun, 2017 9:28 pm

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Sea [math] el punto medio de [math] y [math] el centro de la circunferencia

Llamemos [math] a los segmentos [math] y [math] y sea [math] el segmento [math]

Por Pitágoras:

[math]

Además:

[math]

Reemplazamos:

[math]

[math]

[math]

[math]

[math] y estamos
1  
[math]

[math]

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Matías V5

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 29 Jun, 2017 10:08 pm

Emerson Soriano escribió:Otra forma.
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Sean [math] el pie de la [math]altura del triángulo [math] y [math] el inradio. Notemos que el circuncentro [math] del triángulo [math] está sobre el segmento [math]. Luego, en el triángulo rectángulo [math] tenemos que [math], [math] y [math], luego, por Pitágoras, tenemos que [math].
¿Por qué [math]?
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Gianni De Rico

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 29 Jun, 2017 10:57 pm

Solución 1:
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Zonal 2017 N3 P3 (1).png
Por Pitágoras [math].

Trazamos las mediatrices de [math] y [math]. Al ser [math] punto medio de [math], la mediatriz de [math] pasa por [math]. Sea [math] el punto medio de [math] y [math] la intersección de las mediatrices, entonces [math] y queremos calcular [math]. Notemos que [math] por ser ambos complementarios a [math]. Y como [math], [math]

[math]
Solución 2:
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Zonal 2017 N3 P3 (2).png
En un triángulo de área [math], lados [math], [math], [math] y radio de su circunferencia circunscrita [math], es conocido que [math].

Por ser [math] punto medio de [math], la mediatriz de [math] pasa por [math] es isósceles en [math].

Por Pitágoras [math].

Como [math], la altura correspondiente a [math] en [math] es [math]. Entonces [math].

Resulta [math].

[math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Emerson Soriano

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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 29 Jun, 2017 11:01 pm

Debí explicarlo. Sea [math] el punto de intersección de [math] con la circunferencia, distinto de [math]. Lo que sucede es que la potencia de [math] respecto a la circunferencia es [math]. Por eso, [math], y, por ende, [math].

ioaki
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Re: Zonal 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por ioaki » Jue 24 Sep, 2020 5:42 pm

Sea N el punto medio de AB, entonces MN es altura en AMB, tenemos que AM*MB=MN*2r, donde r es el radio del circuncírculo de AMB. Además, claramente MN=4 y AM=BM=√20 por Pitágoras. Reemplazando en la fórmula queda que r=5/2.
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Todos tenemos ese síndrome en distinta medida.
Nunca permitas que te prohíban quejarte.

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