P3 N1 Zonal 2011

[Ivan]

Sea [math]ABCD un trapecio de bases [math]AB y [math]CD, con [math]AB menor que [math]CD, y lados no paralelos [math]BC y [math]DA, tal que el lado [math]BC es perpendicular a la diagonal [math]BD. Se traza por [math]A la perpendicular a la diagonal [math]BD, que corta al lado [math]CD en [math]E. Si [math]BD=DE, [math]BD=36 y [math]BC=27, calcular las longitudes de [math]AB y [math]CD.

[gracielanoe]

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[math]BC y [math]BD son perpendiculares además [math]AE y [math]BD perpendiculares.
Por lo tanto [math]AE es paralela a [math]BC entonces [math]ABCE es un paralelogramo.
Además [math]DBC es un triángulo rectángulo
por Pitágoras [math]CD = 45
Entonces [math]EC = 45 - 36 = 9 por lo tanto [math]EC \parallel AB; [math]AB = 9

[lendsarctic280]

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Pela condição $BC\perp BD$, $\triangle DBC$ é retângulo de hipotenusa $CD$.
Por Pitágoras, $CD=\sqrt{BC^2+BD^2}=\sqrt{27^2+36^2}=\sqrt{2025}=\boxed{45}$.
Por $ABCD$ ser trapézio, $AB\parallel CD\therefore AB\parallel EC$. Assim, $ABCE$ é paralelogramo com $AE=BC$ e $AB=EC$. Com $CD>AB$, $CD=45$ e $BD=DE=36\therefore EC=\boxed{AB=45-36=9}$. $\bigstar$