Problema 3 - Selectivo Iberoamericana 2011

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Nacho

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Problema 3 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Nacho » Jue 04 Ago, 2011 8:18 pm

Dos circunferencias, [math] y [math], se cortan en [math] y [math]. Sea [math] un punto de [math]. Las rectas [math] y [math] cortan nuevamente a [math] en [math] y [math], respectivamente. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. Demostrar que cuando [math] varía en [math], [math] pertenece a una circunferencia fija.
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Caro - V3

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Re: Problema 3 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Vie 05 Ago, 2011 12:00 pm

Para este problema se me ocurrió usar una "idea mágica", cosa practicamente obligatoria en todos los 3 de los Selectivos de Ibero :P
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Primero hice el dibujo y tuve la "mala" suerte de elegir justo el [math] que hace que [math] sea tangente a [math]. Entonces seguí con el dibujo y noté que [math] era el mismo punto que [math].
Llamemos [math], [math] y [math] al ángulo que forman las rectas [math] y [math] (al más chico).
Entonces [math].

Veamos ahora que para cualquier elección de [math], el ángulo que forman las rectas [math] y [math] siempre es [math].
¿Por qué? Bueno, si llegamos a esa igualdad entre los ángulos es fácil ver que si tenemos [math] y [math] (puntos marcados como indica el enunciado, dependiendo de [math] y [math] respectivamente), entonces [math] es un cuadrilátero cíclico. Si dejamos fijo [math] (es decir, dejamos fijo [math]) y movemos [math], el punto [math] siempre está en la circunferencia circunscripta al triángulo [math]. En otras palabras, [math] pertenece a una circunferencia fija.

Y ver esa igualdad entre ángulos es muy fácil, solamente hagan el dibujo para un [math] genérico, un par de cuentas con angulitos, y listo.
Subo algunas imágenes para que se guien, porque no tengo ganas de pasar las cuentas :P
SelIberoP3(1).png
SelIberoP3(2).png
SelIberoP3(3).png
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1  
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Problema 3 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 05 Ago, 2011 7:06 pm

Otra forma de notar lo que dijo Caro:
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Dado un segmento determinado [math], el lugar geométrico de los puntos [math] tales que [math] es una circunferencia fija que pasa por [math] y por [math]. Sabiendo ésto, el problema es coser y cantar...
Y cuidado con:
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Hay dos casitos según [math] esté en el arco [math] o [math] (obviamente mirando los arcos de circunferencia en sentido horario. De todas formas son parecidos, aunque me parece que hay que mencionarlos en la prueba...
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 3 - Selectivo Iberoamericana 2011

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 07 Ago, 2018 9:37 pm

Solamente para cubrir todos los casos
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Uso $\measuredangle$ para los ángulos dirigidos
Tenemos $\measuredangle (PM,MK)=\measuredangle (PM,MQ)=\measuredangle (MP,PQ)+\measuredangle (PQ,QM)=\measuredangle (MP,PL)+\measuredangle (LQ,QM)$, pero $P,L,M$ están sobre $S_2$ y $Q,L,M$ están sobre $S_1$, de donde $\measuredangle (MP,PL)$ y $\measuredangle (LQ,QM)$ son constantes, luego, $\measuredangle (PM,MK)$ es constante. Análogamente, $\measuredangle (PL,LK)$ es constante. Por lo tanto $\measuredangle (MK,KL)$ es constante (ya que $\measuredangle (MP,PL)+\measuredangle (PM,MK)+\measuredangle (PL,LK)+\measuredangle (MK,KL)=0°$) de donde $K$ pertenece siempre a una circunferencia fija que pasa por $L$ y $M$.

Comentario: Si uno quiere puede fijar un punto $P'$ en $S_2$, eso te deja fijo un $K'$ y ahí es claro que $K$ siempre va a estar en el circuncírculo de $K'ML$.
Selectivo Ibero 2011 P3.png
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[math]

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