IMO 2000 - P6

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Gianni De Rico

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IMO 2000 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 13 Dic, 2018 1:07 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $H_1,H_2,H_3$ los pies de las alturas desde $A,B,C$ respectivamente. El incírculo de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $T_1,T_2,T_3$ respectivemente. Sean $\ell _1,\ell _2,\ell _3$ las rectas simétricas a $H_1H_2,H_2H_3,H_3H_1$ respecto a $T_1T_2,T_2T_3,T_3T_1$ respectivamente. Demostrar que las rectas $\ell _1,\ell _2,\ell _3$ forman un triángulo cuyos vértices están sobre el incírculo de $ABC$.
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Joacoini

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Re: IMO 2000 - P6

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 18 May, 2020 3:55 am

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Sea $P_1$ la intersección de $\ell_2$ y $\ell_3$, análogamente defino $P_2$ y $P_3$.

$H$ es el incentro de $H_1H_2H_3$ así que $T_1H_1,~T_2H_2,~T_3H_3$ son bisectrices exteriores
Al reflejar una recta por un eje de simetría ese eje pasa a ser la bisectriz de la recta y su imagen.
Sea $d(P,\ell)$ la distancia del punto $P$ a la recta $\ell$.
Como $T_1$ esta en la bisectriz exterior de $H_2H_1H_3$, $d(T_1,H_1H_2)=d(T_1,H_1H_3)$, como $T_1T_2$ es bisectriz de las rectas $P_1P_2$ y $H_2H_3$, $d(T_1,P_1P_2)=d(T_1,H_1H_2)$, como $T_1T_3$ es bisectriz de las rectas $P_1P_3$ y $H_2H_3$, $d(T_1,P_1P_3)=d(T_1,H_1H_3)$.
Como $d(T_1,P_1P_2)=d(T_1,P_1P_3)$ tenemos que $T_1P_1$ es la bisectriz exterior de $P_2P_1P_3$, análogamente $T_2P_2$ y $T_3P_3$ también lo son.

$H_2H_3$ es antiparalela a $BC$ y como $T_2T_3$ es perpendicular a la bisectriz de $B\widehat AC$ tenemos que $P_2P_3//BC$, análogamente $P_1P_2//AB$ y $P_1P_3//AC$.

Sea $X_1$ la intersección de la bisectriz exterior correspondiente a $P_1$ del triangulo $P_1P_2P_3$ con la circunscrita de $P_1P_2P_3$, análogamente defino $X_2$ y $X_3$.
Como los triángulos $P_1P_2P_3$ y $ABC$ son homotéticos tenemos que $X_1X_2$ es paralela a su análoga en $ABC$ pero su análoga en $ABC$ es perpendicular a la bisectriz de $B\widehat CA$ (ver Anexo 1) así que $X_1X_2//T_1T_2$ y análogamente $X_2X_3//T_2T_3$ y $X_3X_1//T_3T_1$.
Los triángulos $X_1X_2X_3$ y $T_1T_2T_3$ son homotéticos así que $X_1T_1$, $X_2T_2$ y $X_3T_3$ concurren pero estas son las bisectrices exteriores de $P_1P_2P_3$, absurdo, así que $X_1=T_1,~X_2=T_2$ y $X_3=T_3$ y estamos porque tenemos que $P_1P_2P_3T_1T_2T_3$ es cíclico.
WhatsApp Image 2020-05-17 at 23.48.03.jpeg
Anexo 1
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No quería meter angulitos en la solución.
Sean $Y_1$ y $Y_2$ los análogos a $X_1$ y $X_2$.
$Y_1\widehat Y_2C=90-\frac{B\widehat AC}{2}$
$I\widehat CY_2=A\widehat CY_2-A\widehat CI=90-\frac{A\widehat BC}{2}-\frac{A\widehat CB}{2}=\frac{B\widehat AC}{2}$
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