Lindo Problema (Nacional 1995 N2 P3)

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
jonyayala_95
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Lindo Problema (Nacional 1995 N2 P3)

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Sab 01 Oct, 2011 4:42 pm

Dado un triángulo [math], con [math], sea [math] el punto medio de [math] y [math] el punto del lado [math] tal que [math]. Demostrar que si [math] entonces [math] y recíprocamente, si [math] entonces [math].

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Aldana
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Re: Lindo Problema

Mensaje sin leer por Aldana » Sab 01 Oct, 2011 11:11 pm

Muy lindo problema.

a) Si [math] entonces [math]
Spoiler: mostrar
Trazamos el punto [math] tal que pertenece a la recta [math] y [math]
Por thales,[math] y [math] Si [math]
Luego, [math]
como queríamos.
b) Si [math] entonces [math]
Spoiler: mostrar
Trazamos el punto [math] tal que pertenece a la recta [math] y [math]
Por el enunciado, tenemos: [math] y [math], luego por Thales [math] Y como [math] es el centro de la circunferencia que contiene a [math] y como [math] es diámetro, entonces [math] (por alternos internos) como queríamos.
Tu solución es diferente?

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Lindo Problema

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 03 Oct, 2011 4:54 pm

Un detalle mínimo:
Spoiler: mostrar
Estás suponiendo que [math] cae en la prolongación de [math]. Habría que suponer que [math] cae en [math] y luego, suponiendo que [math], [math], [math], como vos decís por Thales, [math], y ahí llegar al absurdo, pues tendría que pasar que [math].
[math]

jonyayala_95
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Re: Lindo Problema

Mensaje sin leer por jonyayala_95 » Sab 08 Oct, 2011 2:04 pm

Paso mi solución:

a) Si [math]
Spoiler: mostrar
Marcamos [math] en [math] tal que [math]
Sea [math] y [math]

Denotemos como [math] al simetrico de [math] respecto a [math]

Como [math] es punto medio y paralelo a [math] entonces [math] es base media de [math], entonces [math] resulta punto medio de [math] y de [math]

Ahora comparamos los triangulos [math] y [math]

Como: [math], [math] y [math] (opuestos por el vértice) resultan por criterio [math] congruentes ambos triangulos, por lo tanto [math]

Por enunciado tenemos [math]

Tenemos que [math] por lo tanto [math] es un triangulo rectangulo.
En [math] tenemos que [math] en consecuencia [math] es la mediana respecto a la hipotenusa, entonces:

[math] como queriamos.
b) Si [math]
Spoiler: mostrar
Llamemos [math], [math] y [math] y [math]

Por enunciado es facil ver que [math]

Por Teorema del Coseno en [math]:

[math] (Despejamos [math])
[math]
[math]
[math]
[math] [math]

Ahora por Coseno en [math]:

[math] Usando [math]
[math]
[math]
[math] [math]


Ahora por Coseno en [math]:

[math] Usando [math]
[math]
[math] [math]

Haciendo [math]

[math]
[math]
[math]

Entonces como en el triangulo [math]:

[math] Y terminamos!
Si le pifié algo avisen :D
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Peznerd
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Re: Lindo Problema

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 02 Nov, 2018 1:24 pm

Aldana escribió:
Sab 01 Oct, 2011 11:11 pm
Muy lindo problema.

a) Si $\widehat{KLB} = 90°$ entonces $AC=3 \times CB$
Spoiler: mostrar
Trazamos el punto $D$ tal que pertenece a la recta $AC$ y $KL\parallel BD \Rightarrow \hat{KLB}=\hat{LBD}=90$
Por thales,$AL = LD$ y $AL = LC + CB = LD = LC + CD \Rightarrow CB = CD \Rightarrow \hat{CDB}=\hat{CBD}= \alpha$ Si $\hat{CBL}=\beta \Rightarrow \alpha + \beta = 90$
Luego, $\hat{BLC}= 180 - \hat{LBD} - \hat{BDL} = 180 - (\alpha + \beta) - \alpha = \beta \Rightarrow CB = CL \Rightarrow CL =\frac{AL}{2} \Rightarrow AC = 3 BC$
como queríamos.
No entiendo cómo es que en a) sacaste que por Thales $AL = LD$
$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

Peznerd
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Re: Lindo Problema

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 02 Nov, 2018 1:30 pm

Martín Vacas Vignolo escribió:
Lun 03 Oct, 2011 4:54 pm
Un detalle mínimo:
Spoiler: mostrar
Estás suponiendo que $D$ cae en la prolongación de $AC$. Habría que suponer que $D$ cae en $CL$ y luego, suponiendo que $CL=y$, $BC=x \to AL=x+y$, $DL=z$, como vos decís por Thales, $z=x+y$, y ahí llegar al absurdo, pues tendría que pasar que $y>x+y$.
No entiendo en qué te basás para decir que por Thales $z=x+y$ ¿alguien sería tan amable de explicarme, por favor? Creí que tenía el teorema dominado, y ando re perdido! :shock:
$3^3+4^4+3^3+5^5=3435$

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