Torneo de las Ciudades - Octubre 2016 - NM P3

[Gianni De Rico]

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de centro $O$, que no pertenece a ninguna de sus diagonales.
Si el circuncírculo de $AOC$ pasa por el punto medio de $BD$, demostrar que el circuncírculo de $BOD$ pasa por el punto medio de $AC$.

[Gianni De Rico]

Solución:

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Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $BD$ y $AC$, respectivamente, y sea $F'$ el inverso de $F$ por $\Omega$. Luego, $OE\perp BD$; y $OF'$ es diámetro de $\odot OAF'C$, de donde $OE\perp EF'$, por lo que $B,E,D,F'$ están alineados, de donde $O,F,D,B$ son concíclicos.

[Fedex]

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Sean $a, b,c,d$ sobre la circunferencia unitaria. Supongamos que $a$, $0$, $\frac{b+d}{2}$, $c$ están sobre una circunferencia en ese orden luego $\frac{a-0}{0-\frac{b+d}{2}} \frac{\frac{b+d}{2}-c}{c-a}$ es un número real, por lo que es igual a su conjugado. Haciendo las cuentas, esa condición se reduce a:
$$\frac{(a+c)(b+d)}{ac + bd} = 2$$
Y reduce a lo mismo suponiendo que el orden es $a$,$\frac{b+d}{2}$, $0$, $c$. Como esta condición es simétrica con respecto a los pares $a$, $c$ y $b$, $d$ se llega a lo mismo asumiendo que $b$, $0$, $\frac{a+c}{2}$, $d$ son concíclicos, como es un sí y solo sí, tal cosa debe darse.