APMO 2008 3

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Prillo

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APMO 2008 3

Mensaje sin leer por Prillo » Mar 25 Oct, 2011 11:29 pm

Sea [math] el circuncírculo de un triángulo [math]. Una circunferencia que pasa por [math] y [math] corta a los lados [math] y [math] en [math] y [math] respectivamente. Las rectas [math] y [math] cortan a [math] de vuelta en [math] y [math] respectivamente. Las tangentes a [math] por [math] y [math] cortan a la recta [math] en [math] y [math] respectivamente. Probar que las rectas [math] y [math] se cortan sobre [math].

xD13G0x
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Re: APMO 2008 3

Mensaje sin leer por xD13G0x » Dom 30 Oct, 2011 3:25 pm

Buen problema.
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Sea [math] la segunda interseccion de [math] con [math]. Sea [math] la interseccion de [math] con [math]. Queremos probar que [math].

[math]. Por potencia de punto y la anterior igualdad tenemos que [math] de donde [math] es tangente al circuncirculo de [math].

[math] entonces [math] es ciclico de donde [math] (aqui hemos usado la tangencia de [math]) osea [math] es tangente a [math] de donde [math]

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Gianni De Rico

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Re: APMO 2008 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 29 Dic, 2019 7:00 pm

Solución:
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Screenshot_20191229-225033.png

Sea $I$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ y $\odot BDE$. Notemos que $(AC,DE,BI)$ son los ejes radicales de $(\Gamma ,\odot ACDE,\odot BDE)$ de donde concurren en un punto $F$.
Por otro lado, $I$ es el centro de la rotohomotecia que manda $DE$ a $CA$, por lo que es el centro de la rotohomotecia que manda $DC$ a $EA$, luego, $AEIF$ y $CDIF$ son cíclicos.

Veamos que $ILAD$ es cíclico. Análogamente, $IMCE$ es cíclico.
En efecto, tenemos que $$\angle AID=\angle AIE+\angle EID=\angle AFE+\angle EBD$$ pero $\angle AFE+\angle FEA=\angle CAB$, y $\angle FEA=\angle LEA=\angle BCA$, luego, $\angle AFE=\angle CAB-\angle BCA$, pero también, $\angle EBD=\angle ABC=180°-\angle CAB-\angle BCA$, entonces $$\angle AFE+\angle EBD=\angle CAB-\angle BCA+180°-\angle CAB-\angle BCA=180°-2\angle BCA$$
Por otro lado $$\angle ALD=\angle ALE=180°-\angle LEA-\angle EAL=180°-\angle BCA-\angle EAL$$ ahora, por ser $AL$ tangente a $\Gamma$, tenemos que $\angle EAL=\angle BAL=\angle BCA$, de donde $$180°-\angle BCA-\angle EAL=180°-2\angle BCA$$
Entonces $\angle AID=180°-2\angle BCA=\angle ALD$, por lo que $ILAD$ es cíclico.

Ahora $$\angle LIA=\angle LDA=\angle EDA=\angle ECA=\angle HCA=\angle HIA$$ de donde $L,H,I$ son colineales. Análogamente, $M,G,I$ son colineales.
Entonces $LH\cap MG=I\in \Gamma$, por lo que las rectas $LH$ y $MG$ se cortan sobre $\Gamma$.
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