Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

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Monazo

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Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Monazo » Vie 30 Ago, 2019 10:23 am

Sea $ABC$ un triángulo con $AC=6$, $BC=2$ y $A\hat C B=120$. La bisectriz del ángulo $A\hat CB$ corta al lado $AB$ en $D$. Determinar la longitud del segmento $CD$.

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Vladislao

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 30 Ago, 2019 2:09 pm

:roll:
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

malen.arias

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por malen.arias » Sab 31 Ago, 2019 12:22 am

Una solución apta para celiacos (sin trigo) :D
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Sea $E$ un punto en el segmento $AC$ tal que $EC=2$. Como $EC=2=BC$, el triángulo $BCE$ es isosceles, con $B\widehat{E}C=C\widehat{B}E=\frac{180º-120º}{2}=30º$ y, a su vez, como $CD$ será bisectriz de su ángulo diferente, también será altura, $CD$ es perpendicular a $BE$.
Sea $F$ el punto de intersección entre la recta $AC$ y la recta perpendicular a $BE$ por $B$. Tenemos que $C\widehat{B}F=E\widehat{B}F-C\widehat{B}E=90º-30º=60º$ y que $B\widehat{C}F=180º-B\widehat{C}E=180º-120º=60º$. Entonces el tercer ángulo del triángulo $BCF$ también será $60º$ y éste resultará equilátero con $BF=CF=BC=2$. Por esto, $AF=AC+CF=6+2=8$.
Como $CD$ y $BF$ son ambas perpendiculares a $BE$, podemos afirmar que $CD\parallel BF$, entonces los triángulos $ACD$ y $ABF$ resultan ser semejantes y se cumple que
$$\frac{AC}{AF}=\frac{CD}{BF}$$
reemplazamos los valores y llegamos a que
$$\frac{AC}{AF}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=\frac{CD}{2}$$
$$CD=\frac{3}{2}$$
prov 3.png
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Turko Arias

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Turko Arias » Sab 31 Ago, 2019 1:29 am

Creo que es bastante distinta a las soluciones que escuché que surgieron en los diferentes provinciales. Espero que guste :D
Spoiler: mostrar
$E$ en $AC$ tal que $CE=2$, $G$ en $BC$ con $B$ entre $C$ y $G$ tal que $CG=6$. $CD$ corta a $AG$ en $F$. Como $ACG$ es isósceles y $\angle ACG=120$ tenemos que $CF$ parte a $ACG$ en dos medios equilateros. Por Menelao en $ACF$ con la recta $EG$ tenemos $\frac{AE}{EC} \frac{CD}{DF} \frac{FG}{AG}= 1$. Usando las medidas que conocemos y que $CF$ es mediatriz, nos queda $\frac{CD}{DF}=1$, pero por otro lado $ACF$ es un medioequilatero, por lo que $CF=3$ y nos queda $CD=\frac{3}{2}$ $\blacksquare$
Prov n3.png
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Gianni De Rico

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 31 Ago, 2019 1:21 pm

Vengo a dejar dos soluciones
Mi solución
Spoiler: mostrar
Sea $E$ sobre la semirrecta $CB$ tal que $CE=6$, y sea $F$ el punto de intersección de $CD$ con $AE$. Como $AC=6=CE$, tenemos que $ACE$ es isósceles, por lo que $F$ es el punto medio de $AE$ y $CF\perp AE$. Además, tenemos que $\angle ACF=\angle ACD=60°=\angle DCB=\angle FCE$ por ser $CD$ bisectriz de $\angle ACB$, luego, $ACF$ y $ECF$ son medio equiláteros, por lo que $CF=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3$.
Sea $G$ el baricentro de $ACE$ y sea $M$ el punto medio de $CE$; luego, $G\in CF$, $\frac{GF}{FC}=\frac{1}{3}$ y $A,G,M$ están alineados. Por lo tanto, $CM=ME=3$, es decir que $BM=1$, de donde $$1=\frac{2}{1}\frac{3}{6}=\frac{CB}{BM}\frac{ME}{EC}=\{C,M;B,E\}\underset{A}{=}\{C,G;D,F\}=\frac{CD}{DG}\frac{GF}{FC}=\frac{CD}{DG}\frac{1}{3}$$
Entonces $\frac{CD}{3}=DG$, por lo que $\frac{4}{3}CD=CD+DG=CG=2$, de donde $CD=\frac{3}{2}$.
Provincial 2019 N3 P3 - Gianni.png
Solución de Iara
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Sea $I$ sobre la semirrecta $CD$ tal que $CI=6$, como $\angle ACI=\angle ACD=\frac{\angle ACB}{2}=\frac{120°}{2}=60°$ y $AC=6=CI$, tenemos que $ACI$ es equilátero, luego, $AI=6$ y $\angle DIA=60°=\angle DCB$, por lo que $AI\parallel BC$, y por Thales tenemos que $\frac{DI}{CD}=\frac{AI}{BC}=\frac{6}{2}=3$, de donde $DI=3CD$. Entonces $6=CI=CD+DI=CD+3CD=4CD$, por lo que $CD=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.
Provincial 2019 N3 P3 - Iara.png
PD:
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malen.arias escribió:
Sab 31 Ago, 2019 12:22 am
Una solución apta para celiacos (sin trigo)
Me robo esta frase
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[math]

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Turko Arias

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Re: Provincial 2019 - Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Turko Arias » Lun 09 Sep, 2019 7:18 pm

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