Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P3

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BrunZo

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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P3

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:03 pm

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo de circuncentro $O$ y ortocentro $H$. Una circunferencia de centro $X_A$ pasa por los puntos $A$ y $H$ y es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. De forma análoga, definamos los puntos $X_B$ y $X_C$. Sean $O_A$, $O_B$ y $O_C$ los simétricos de $O$ con respecto a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Probar que las rectas $O_AX_A$, $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 03 Sep, 2019 11:44 pm

Una Solución bien colorida (como corresponde a Brasil)
Spoiler: mostrar
Sean $D,E,F$ los puntos de intersección de $AO,BO,CO$ con $BC,CA,AB$, respectivamente, y sea $R=OA=OB=OC$ el circunradio de $ABC$.
Usando que $AH=2OM$, tenemos que $AH=OO_A$, pero como $AH\perp BC\perp OO_A$, tenemos que $AH\parallel OO_A$. Por lo tanto, $AHO_AO$ es un paralelogramo, de donde $HO_A=R$. Análogamente, $R=HO_B=HO_C$. Por otro lado, $O_AB=OB=R=OC=O_AC$, y análogamente $R=O_BC=O_BA=O_CA=O_CB$. De todo esto se sigue que $O_BO_C$ es mediatriz de $AH$, y como $X_A$ es el centro de una circunferencia que pasa por $A$ y por $H$, entonces $X_A$ está sobre la mediatriz, esto es, $O_B,X_A,O_C$ están alineados. Análogamente, $O_C,X_B,O_A$ están alineados y $O_A,X_C,O_B$ están alineados.
Como la circunferencia de centro $X_A$ que pasa por $A$ es tangente a $\odot ABC$, y $A\in \odot ABC$, tenemos que $A,X_A,O$ están alineados, de donde $A,X_A,O,D$ están alineados. Análogamente, $B,X_B,O,E$ están alineados y $C,X_C,O,F$ están alineados.
Ahora, $AOCO_B$ y $AOBO_C$ son rombos, pues todos sus lados son iguales a $R$, luego, $O_BC\parallel AO\parallel O_CB$, de donde $BCO_BO_C$ es un paralelogramo, por lo que $BC\parallel O_BO_C$. Entonces $X_AD\parallel O_BC$ y $O_BX_A\parallel CD$, de donde $CDX_AO_B$ es un paralelogramo, y $O_BX_A=CD$, luego, $X_AOC=DB$. Análogamente, $O_CX_B=AE$, $X_BO_A=EC$, $O_AX_C=BF$ y $X_CO_B=FA$. Por lo tanto $\frac{O_BX_A}{X_AO_C}\frac{O_CX_B}{X_BO_A}\frac{O_AX_C}{X_CO_B}=\frac{CD}{DB}\frac{AE}{EC}\frac{BF}{FA}=\frac{DC}{BD}\frac{EA}{CE}\frac{FB}{AF}$, pero como $AD,BE,CF$ concurren en $O$, tenemos por Ceva que $\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA}\frac{AF}{FB}=1$, por lo que $\frac{DC}{BD}\frac{EA}{CE}\frac{FB}{AF}=1$, de donde $\frac{O_BX_A}{X_AO_C}\frac{O_CX_B}{X_BO_A}\frac{O_AX_C}{X_CO_B}=1$, y por Ceva, las rectas $O_AX_A$, $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son concurrentes.
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[math]

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