Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P4

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BrunZo

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Nacional Brasil 2018 Fase Única - N2 P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 02 Sep, 2019 11:07 pm

a) En un triángulo $XYZ$, el incírculo es tangente a los lados $XY$ y $XZ$ en los puntos $T$ y $W$, respectivamente. Probar que
$$XT=XW=\frac{XY+XZ-YZ}{2}$$
Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura relativa al lado $A$. Sean $I$ y $J$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente. Los círculos circunscritos de $ABD$ y $ACD$ son tangentes a $AD$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Sea $P$ el punto tangente del círculo inscrito en $ABC$ con el lado $AB$. El círculo de centro $A$ y radio $AP$ interseca a la altura $AD$ en $K$.
b) Demuestre que los triángulos $IMK$ y $KNJ$ son congruentes.
c) Demuestre que el cuadrilátero es $IDJK$ e inscribible.

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