IGO 2018 - P1 Nivel Avanzado

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Joacoini

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IGO 2018 - P1 Nivel Avanzado

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 07 Sep, 2019 3:05 am

Dos circunferencias $\omega_1$, $\omega_2$ se cortan en $A$ y $B$. Sea $PQ$ una tangente común a estas dos circunferencias con $P$ en $\omega_1$ y $Q$ en $\omega_2$. Consideramos un punto arbitrario $X$ de $\omega_1$. La recta $AX$ corta por segunda vez a $\omega_2$ en $Y$. El punto $Y'\neq Y$ de $\omega_2$ es tal que $QY=QY'$. La recta $Y'B$ corta por segunda vez a $\omega_1$ en $X'$. Demostrar que $PX=PX'$.
NO HAY ANÁLISIS.

ricarlos
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Re: IGO 2018 - P1 Nivel Avanzado

Mensaje sin leer por ricarlos » Dom 08 Sep, 2019 8:06 am

Spoiler: mostrar
Sean $O_{1}$ y $O_{2}$ los centros de las circunferencias $\omega_{1}$ y $\omega_{2}$.
$\angle ABX' = \angle ABY' = \angle AYY' = \angle AXX'$.

Tomando los dos ultimos angulos se deduce que $YY'\parallel XX'$, sabemos que $PO_{1}\parallel QO_{2}$
y ademas $QO_{2}$ es mediatriz de $YY'$ por lo tanto $PO_{1}$ es mediatriz de $XX'$.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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