IGO 2018 - P2 Nivel Avanzado

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Joacoini

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IGO 2018 - P2 Nivel Avanzado

Mensaje sin leer por Joacoini » Sab 07 Sep, 2019 3:07 am

El triángulo acutángulo $ABC$ tiene $\hat A=45^{\circ}$. Los puntos $O$ y $H$ son el circuncentro y el ortocentro de $ABC$ respectivamente. $D$ es el pie de la altura trazada desde $B$. El punto $X$ es el punto medio del arco $\stackrel \frown {AH}$ de la circunferencia circunscrita del trianguloo $ADH$ que contiene a $D$. Demostrar que $DX=DO$.
NO HAY ANÁLISIS.

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Gianni De Rico

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Re: IGO 2018 - P2 Nivel Avanzado

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Sep, 2019 7:23 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Sea $E$ el pie de la altura desde $C$, luego, $\angle ACE=\angle CAE=45°$, por lo que $E$ está en la mediatriz de $AC$. Análogamente, $D$ está sobre la mediatriz de $AB$.
Como $AD\perp HD$, tenemos que $AEHDX$ es cíclico, luego, $AH$ es diámetro de $\odot ADE$, por lo que $\angle HAX=\angle XHA=45°$, de donde $\angle XDH=135°$, y como $\angle HDC=90°$, tenemos que $\angle XDC=135°$, por lo que $X$ está sobre la bisectriz de $\angle CDH$. Pero $\angle DCH=\angle ACE=45°$, de donde $CD=DH$, por lo que $XC=XH=XA$, de donde $X$ está sobre la mediatriz de $AC$. Luego, $E,O,X$ están alineados sobre la mediatriz de $AC$, es decir, $XE\perp AC\perp HD$, por lo que $XE\parallel HD$, de donde $DX=DE$. Pero como $OD$ es mediatriz de $AB$, tenemos $OD\perp AB\perp HD$, de donde $OD\parallel HD$, luego, $DOEH$ es un paralelogramo, por lo que $DE=DO$. Entonces $DX=DE=DO$.
IGO 2018 NA P2 - Figura de análisis.png
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